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大专线性代数试题及答案

姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设矩阵A为3×3矩阵，且A的行列式|A|≠0，则A的秩为：

A.1B.2C.3D.0

2.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的内积为：

A.14B.18C.20D.22

3.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A^{-1}满足：

A.A^{-1}A=IB.AA^{-1}=IC.A^{-1}A=0D.AA^{-1}=0

4.设矩阵A和B都是n阶方阵，且|A|=|B|≠0，则：

A.A和B等价B.A和B相似C.A和B等秩D.A和B等价或相似

5.设向量组a1=(1,1,1)，a2=(2,2,2)，a3=(3,3,3)，则该向量组的秩为：

A.1B.2C.3D.0

6.设矩阵A为3×3矩阵，且A的伴随矩阵A*的秩为2，则A的秩为：

A.1B.2C.3D.0

7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：

A.1/2B.1/3C.1/6D.1/12

8.设矩阵A为3×3矩阵，且A的行列式|A|=0，则A的秩为：

A.1B.2C.3D.0

9.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的长度分别为：

A.√14,√14B.√14,√15C.√15,√14D.√15,√15

10.设矩阵A为3×3矩阵，且A的逆矩阵A^{-1}存在，则A的秩为：

A.1B.2C.3D.0

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的内积为______。

2.设矩阵A为3×3矩阵，且A的行列式|A|=0，则A的秩为______。

3.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的长度分别为______。

4.设矩阵A为3×3矩阵，且A的伴随矩阵A*的秩为2，则A的秩为______。

5.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

6.设矩阵A为3×3矩阵，且A的逆矩阵A^{-1}存在，则A的秩为______。

7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

8.设矩阵A为3×3矩阵，且A的行列式|A|=0，则A的秩为______。

9.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a与向量b的长度分别为______。

10.设矩阵A为3×3矩阵，且A的逆矩阵A^{-1}存在，则A的秩为______。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.计算矩阵A的逆矩阵A^{-1}，其中A=[12;34]。

2.计算向量a与向量b的夹角余弦值，其中a=(1,2,3)，b=(4,5,6)。

3.计算矩阵A的行列式|A|，其中A=[123;456;789]。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若向量组a1,a2,...,an线性无关，则对任意常数k1,k2,...,kn，向量组ka1,ka2,...,kan也线性无关。

2.证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆，且(A*)^{-1}=(A^{-1})^T。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.已知线性方程组：

x+2y-z=3

2x+4y+2z=6

-x+y+3z=0

求解该方程组。

2.设线性变换T：R^3→R^3，由以下矩阵A定义：

A=[102;310;201]

求线性变换T的矩阵B，使得T(x)=Bx。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.已知矩阵A和B如下：

A=[123;456;789]

B=[123;456;789]

(1)计算矩阵A和B的行列式|A|和|B|。

(2)判断矩阵A和B是否可逆，并说明理由。

(3)如果A和B可逆，计算它们的逆矩阵A^{-1}和B^{-1}。

2.设向量组a1=(1,1,1)，a2=(2,2,2)，a3=(3,3,3)，a4=(4,4,4)。

(1)判断向量组a1,a2,a3,a4的线性相关性。

(2)如果向量组线性相关，求出其极大线性无关组，并求出对应的秩。

(3)如果向量组线性相关，求出该向量组的一个