chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-.doc

chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28 上次课要点 静电场的电势满足Poisson 方程： 在无自由电荷体分布的区域,Poisson方程退化为Laplace方程： x 02 静电势的边值关系： 2 1 2 1 f n21 n21 有导体存在时静电势的边界条件： 边界 常数 2 2 f n21 静电场总能量： §2.2静电场的唯一性定理 上一节内容中，我们利用静电场的特点，引入了静电标势，并给出了其满足的微分方程；因此，关于静电学的基本问题就变成求解电势在所有边界上满足边值关系或者给定边界条件的泊松方程的解。然而，我们知道，对于同一个静电场，所求的电势解如果不是唯一，那它们至多相差一个常数。 本节将回答这样一个问题：电势要满足哪几个条件，就能唯一确定静电场。 我们将从以下两个方面讨论唯一性定理： 一般形式的唯一性定理 有导体存在时的唯一性定理 1、一般形式的唯一性定理 1）问题的提出： 假设所研究的区域V可以分为若 干个均匀的小区域Vi， V Vi i 我们假设每个小区域都是各向同性的介质，每个小区 xV域i的自由电荷体分布为f ，电容率为 i。 在上述基本条件下，有： 电势在每个小区域满足泊松方程： 在相邻区域Vi与Vj的分界面上，电势还必须满足如下的边值关系： i j j i i j n n 至此，对于区域V而言，我们还不知道外边界上的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若 i）区域V内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界S上给定电势 S, 或者电势的法向导数 n ， S 则内的电场唯一确定。 证明： 假设有两组不同的解 ‘和 ‘‘都满足上述定理中所给出的条件。定义： ‘ ‘‘ 由于在均匀的区域Vi内有 2 ‘ fii 2 ‘‘ fii 因此对于每个均匀区域，有 2 0 另一方面，在Vi与Vj分界面上， ‘和 ‘‘一定满足 i’ j’ j’ i’ i j n n i’’ j’’ j’’ i’‘ i j n n 所以在内边界上 也必然满足 i j j i i j n n 在V的外边界上，有 S ‘S ‘‘S 0 或者 n S ‘ ‘‘ 0 nS nS 考察第i个均匀区域Vi的界面上的如下面积分： i dS i dVViSi 此处利用公式 分析等式的右边一项 Vi i dV Vi Vi ViVi i dV i dV i dV i 2 dVVi i dV i 2 dV2Vi 由式得等式右边的第二项为零，则 Si i dS i dV i 2dVViVi 所以对于整体区域V，有： i iSi i dSVi i dV i dV2 iVi 对于上式左边的面积分： iSi i dS 这里应当涉及两种界面：一是整体区域V的外界面，二是各个均匀小区域之间的分界面。我们分别来讨论：i）对于Vi与Vj的分界面， 根据式， 和 但 dSi dSj，ii n是连续的，因此在面积分 S 消。 i dS中，内部界面的积分互相抵 ii）在V的外界面S上，如果 S 0，或者 n 0，只要有其中的任意一个 S 条件满足，此面积分均为零。因此有 iSi i dS i 2dV 0iVi 但是被积函数 i 始终满足2 i 02 因此上式成立的唯一情况是在V内的各处均有 0 即在整个V内， 常数 这表明两个解 ‘和 ‘‘至多相差一个常数，但电势的附 加常数对电场无影响，这样就证明了唯一性定理。补充： Ｇｒｉｆｆｉｔｈｓ书中的证明方法 图中所示的区域和它的边界，表 面的电势 0给定。假设该区域内拉普拉斯方程有两个解： 0 2 2=- 0 2 1=- 两个解都满足边界上给定的条件，令： 3= 1- 2 那么： 2 3= 2 1 2 2=0 并且在边界上 3处处为0。但是拉普拉斯方程不允许内部区域的极大或者极小值，所有的极值必须要处在边界上，所以 3的极大值和极小值均为0，因此， 3必须处处为0。所以 1= 2 唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的 解，那么这个解一定就是该问题的严格解。b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以猜测出一些问题的