2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第十二章　推理与证明、算法、复数+第4讲　复数.4+Word版含答案.doc

§12.4　复　数 最新考纲 考情考向分析 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示及其几何意义． 4.能进行复数代数形式的四则运算． 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档. 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数?b＝0 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　) (4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　) 题组二　教材改编 2．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1， z＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1. 3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案　D 解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 答案　A 解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1. 题组三　易错自纠 5．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则(　　) A．b2＝3a2 B．a2＝3b2 C．b2＝9a2 D．a2＝9b2 答案　A 解析　(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋(bi)3 ＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i. ∵(a＋bi)3是实数，∴3a2b－b3＝0， ∴3a2＝b2. 6．设i是虚数单位，若z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵z＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴ ∴θ为第二象限角，故选B. 7．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________. 答案　1 解析　原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1. 题型一　复数的概念 1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题： p1：若复数z满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2； p4：若复数z∈R，则∈R. 其中的真命题为(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0， 故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题； 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2为假命题； 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋