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以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
jacobi迭代法例题详解
Jacobi迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法，它是通过把线
性方程组的系数矩阵对角线上的元素提取出来，并用其逆矩阵进行下
一步迭代计算的方法。其基本思路是，将线性方程组$Ax=b$表示为：
$$
Ax=Dx+(A-D)x=b
$$
其中，$D$为系数矩阵$A$的对角线部分，即$D_{ii}=A_{ii}$，$(A-D)$则
为$A$的非对角线元素部分。
进而得到迭代式：
$$
x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(A-D)x^{(k)})
$$
其中，$x^{(k)}$为迭代第$k$次的$x$的近似解。
下面以一个简单的例子来详细介绍Jacobi迭代法的求解过程。
例如有如下线性方程组：
$$
egin{cases}
2x_1-x_2-4x_3=7\
-x_1+4x_2+x_3=7\
x_1+x_2+5x_3=-15
以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
$$
将其转化为矩阵形式$Ax=b$：
$$
egin{pmatrix}
2-1-4\
-141\
115
egin{pmatrix}
x_1\
x_2\
x_3
egin{pmatrix}
7\
7\
-15
$$
首先将$A$拆分为对角线矩阵$D$和非对角线矩阵$(A-D)$：
$$
D=
以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
egin{pmatrix}
200\
040\
005
A-D=
egin{pmatrix}
0-1-4\
-101\
110
$$
然后计算$D^{-1}$：
$$
D^{-1}=
egin{pmatrix}
rac{1}{2}00\
0
rac{1}{4}0\
00
rac{1}{5}
$$
以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
由此得到迭代公式：
$$
egin{pmatrix}
x_1^{(k+1)}\
x_2^{(k+1)}\
x_3^{(k+1)}
egin{pmatrix}
rac{1}{2}00\
0
rac{1}{4}0\
00
rac{1}{5}
egin{pmatrix}
7+x_2^{(k)}+4x_3^{(