必修4第二章第3节平面向量的基本定理及坐标表示.doc

年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A版 课程标题 必修4第二章第3节平面向量的基本定理及坐标表示 编稿老师 王志国 一校 李秀卿 二校 黄楠 审核 王百玲 一、学习目标： 1、了解平面向量的基本定理及其意义。 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 3、会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 二、重点、难点： 重点：平面向量的基本定理，向量的坐标表示及坐标运算，向量共线的坐标表示。 难点：平面向量的基本定理。 三、考点分析： 平面向量的基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具.平面向量是中学数学的重要内容，也是近年来高考命题的热点，因此我们应给予足够的重视。 1. 平面向量的基本定理 （1）定量：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。 我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）。 （2）向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，则叫做向量与的夹角。 当时，与同向；当时，与反向；当时，就说与垂直，记作。 2. 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 （2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底. 对于平面内的任意向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，则叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。叫做向量的坐标表示。 3. 平面向量的坐标运算 （1）已知，，则，即两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 （2）一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，即，，则。 （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原向量的相应坐标，即。 4. 平面向量共线的坐标表示 设，，，则。 知识点一：平面向量的基本定理 例1：如图，在中，D、E分别是AC、BC的中点，M是DE的中点，N为线段AB的中点，求证：C、M、N三点共线。 思路分析：选择不共线的两个向量作为基底，利用平面向量的基本定理，将向量、都用基底表示出来。 解答过程：设，取向量、作为平面的一个基底。 N为线段AB的中点，∴， 又D、E分别是AC、BC的中点，∴， ∴， ， ∴，即C、M、N三点共线。 解题后的思考：用向量法解平面几何问题，实质上就是将平面几何问题进行代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译。证明三点共线就是证明这三点构成的向量平行，判断两个向量是否平行，最行之有效的方法就是将这两个向量用同一个基底表示出来，然后看其中一个向量是不是另一个向量的倍数。 知识点二：平面向量的坐标表示及运算 例2：已知（11），（1，3），（3，5），、表示。 思路分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可＝x＋y（x、y∈R），则 x＋y＝x（1，1）y（1，3）（xy，x＋3y）又（3，5）（xy，x＋3y）（3，5）x－y＝3且x＋3y＝5 解之得 x7 且y4。 解题后的思考：在向量的坐标运算中经常要用到方程的，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 思路分析：建立直角坐标系，将向量的问题转化为数的运算问题。 解答过程：建立如图所示的直角坐标系，设A（0，0），B（a，b），C（c，0），O（x，y），则 ＝（－x，－y），＝（a－x，b－y），＝（c－x，－y）。 因为， 即（－x，－y）＋2（a－x，b－y）＋3（c－x，－y）＝（0，0）， （2a＋3c－6x，2b－6y）＝（0，0）。 所以，得b＝3y。 所以 从而＝＝＝3。所以选择C。 解题后的思考：如何利用已知条件是解题的关键，通过坐标将转化为两个三角形的四个顶点坐标之间的关系，使得求解过程轻松、简单。 例4：利用向量证明三角形的三条中线共点。 思路分析：设△ABC的中线AD、BE交于点，中线AD、CF交于点，选择△ABC中不共线的两个向量、作为平面的一组基底，利用平面向量的基本定理证明、重合。 解答过程：设E、F、D分别是△ABC的三边AC、AB、BC的中点，，. 则，＝－＋，＝－＋，设AD与BE交于点，并设，， 则，， 又因为＝。 所以 解得，即。 再设AD与CF交于点，同理可得，故与重合， ∴ AD、BE、CF相交于一点。 解题后的思考：应用平面向量的基本定理来证明平面几何问题时，一般先选取一组基底，再充分运用向量的几何或坐标运算及向量的有关定理及推论，把相关向量用基底表示出来即可。 例5：如图，已知正方形的顶点的坐标分