棱柱棱锥棱台的表面积和体积导学案答案.docx

8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学案

学习目标

1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式．

2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．

情境导入

前面我们从直观的角度初步认识了几种简单几何体，并且研究了构成这些几何体的基本元素之间的位置关系．下面我们将从度量的角度来学习如何计算这几种简单几何体的表面积和体积，同时进一步加深对这几种简单几何体的认识．

新知探究

知识点一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

问题引导

1.我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？

提示：长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示．

知识点总结

棱柱、棱锥、棱台的表面积

(1)多面体的表面积就是围成多面各个面的面积的和．

(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

典例探究

例1(1)已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是()

A．4eq\r(3) B．6eq\r(3)

C．8eq\r(3) D．12eq\r(3)

解析：D如图，正三棱锥OABC中，OM＝2，取BC的中点N，连接AN，ON，则M在AN上，且MN＝eq\f(1,3)AN.

又AB＝4，BN＝2，所以AN＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，所以MN＝eq\f(2\r(3),3)，则ON＝eq\r(OM2＋MN2)＝eq\f(4\r(3),3)，所以S△OBC＝eq\f(1,2)BC·ON＝eq\f(8\r(3),3)，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AN＝4eq\r(3)，故三棱锥的表面积为eq\f(8\r(3),3)×3＋4eq\r(3)＝12eq\r(3).

(2)一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则这个正四棱台的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.

解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为

h＝eq\r(132－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18－8,2)))\s\up12(2))＝12(cm)，

所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(8＋18)×12＝624(cm2)，

S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1012(cm2)．

答案：6241012

关于棱锥、棱台的表面积

能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加，计算时要注意构造直角三角形、直角梯形．如图为四棱锥、四棱台中的直角三角形、直角梯形．

变式训练

1．(1)已知正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为________．

解析：因为正四棱柱的底面是正方形，且面积为4，所以底面的边长为2，又因为棱柱的高为3，所以侧面积为4×2×3＝24.

答案：24

(2)已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为eq\f(3,2)cm，求此正三棱台的表面积．

解：如图所示，画出正三棱台ABCA1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，

所以DD1＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋（OD－O1D1）2)＝eq\r(（\f(3,2)）2＋（\r(3)－\f(\r(3),2)）2)＝eq\r(3)，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3×eq\f(1,2)×(3＋6)×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×32＋eq\f(\r(3),4)×62＝eq\f(99\r(3),4)(cm2)．

知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积

问题引导

2.一个长方体底面矩形的边长分别为a，b，侧棱长为c，则底面矩形的面积为S＝ab，它的体积为V＝abc＝Sc，由此猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？

提示：V＝Sh.

知识点总结

几何体

体积

说明

棱柱

V棱柱＝Sh

S为棱柱的底面积，h为棱柱的高

棱锥

V棱锥＝eq\f(1,3)Sh

S为棱锥的底面积，h为棱锥的高

棱台

V棱台＝eq\f(1,3)h

(S′＋eq\r(S′S)＋S)

S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高

(1)棱锥的高是顶点到底面的距离，棱台的高是上、下底面的距离，要注意区分侧面的高．

(2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点．

(3)棱柱、棱锥、棱台的体积公