南京航空航天大学0708矩阵论试卷(A).doc
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矩阵论
南 京 航 空 航 天 大 学
研究生考试试卷
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一、(20分)设矩阵,
(1)求的特征多项式和的全部特征值;
(2)求的行列式因子、不变因子和初等因子;
(3)求的最小多项式,并计算;
(4)写出的Jordan标准形。
二OO 七 ~二OO 八 学年 第 一 学期《 矩 阵 论 》课程
考试日期: 2008年1月16日 试卷类型 A 课程编号: A000003
学院 学号 姓名 成绩
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二、(20分)设是实数域上全体实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
(1)求的维数,并写出其一组基;
(2)设是全体实对称矩阵的集合,
证明:是的子空间,并写出的维数和一组基;
(3)在中定义内积,求出的一组标准正交基;
(4)给出上的线性变换:
写出线性变换在(1)中所取基下的矩阵,并求的核和值域。
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三、(20分)
(1)设,求,,,;
(2)设,令,
证明:是上的矩阵范数并说明具有相容性;
(3)证明:。
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四、(20分)已知矩阵,向量,
(1)求矩阵A的分解;
(2)计算;
(3)用广义逆判断方程组是否相容?若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
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五、(20分)
(1)设矩阵,其中为实数,
问当满足什么条件时, 成立?
(2)设阶Hermite矩阵,其中,
证明:。
(3)已知Hermite矩阵,,证明:正定
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