对称矩阵的性质.docx

对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现， 对称矩阵中的特殊类型如： 对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念 . 对称矩阵的定义 定义 1 设矩阵 A (aij ) s n ，记 AT (aji )n s 为矩阵的转置 .若矩阵 A 满足条件 AT ，则称 A 为对称矩阵 .由定义知： 对称矩阵一定是方阵 . 2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等 .即 aij a ji ，对任意 i 、 j 都成 a11 a12 a1n 立 .对称矩阵一定形如 a12 a22 a2n . a1n a2n ann a1 0 0 定义 2 0 a2 0 1,2, , l ) ，通常称为 形式为 的矩阵，其中 ai 是数 (i 0 0 al 对角矩阵 . 定义 3 若对称矩阵 A 的每一个元素都是实数，则称 A 为实对称矩阵 . 定义 4 若矩阵 A 满足 AT A ，则称 A 为反对称矩阵 .由定义知： 反对称矩阵一定是方阵 . 2. 反对称矩阵的元素满足 aij a ji ，当 i j 时， aii aii ，对角线上的元素 0 a12 a1n 都为零 .反对称矩阵一定形如 a12 0 a2 n . a1n a2n 0 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论 . 对称矩阵的基本性质 性质 1  同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵  . 性质 2  设 A 为 n 阶方阵，则  A  AT ，  AAT  ， AT A 是对称矩阵  . 性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若 A 可逆，则 A 1 是对称矩阵（反 对陈矩阵） . 性质 4 任一 n n 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和 . 性质 5 设 A为对称矩阵， X 与 A 是同阶矩阵，则 X T AX 是对称矩阵 . 性质 6 设 A 、 B 都是 n 阶对称矩阵，证明： AB 也对称当且仅当 A 、 B 可交 . 1