抛物线的定义和标准方程2013123.ppt

* 抛物线及其标准方程 1、问题提出：我们知道二次函数 的图像是一条抛物线，而且研究它的顶 点坐标，对称轴等问题。那么，抛物线到底有什么几何特征？它还有哪些几何性质？ 动画探究 sun 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点 F 叫做抛物线的焦点。 定直线 l 叫做抛物线的准线。 一、定义 即: ︳ ︳ ︳ ︳ · · F M l N 二、标准方程 · · F M l N 如何建立直角坐标系？ 二、标准方程 x y o · · F M l N K 设︱KF︱= p 则F（ ，0），l：x = - p 2 p 2 设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， 化简得 y2 = 2px（p＞0） 2 方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 F（ ，0），l：x = - p 2 p 2 它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。 想一想: 抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？ 说一说: x y o F L 标准方程为: 焦点坐标为: 准线方程为: y2=2px 标准方程为: 焦点坐标为: 准线方程为: x2=2py x y o L F 标准方程为: 焦点坐标为: 准线方程为: y2=-2px x y o L F 标准方程为: 焦点坐标为: 准线方程为: x2=-2py x y o L F y x o ﹒ ﹒ y x o y x o ﹒ y x o ﹒ 标准方程 准 线 焦 点 图 形 根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系，如何判断抛物线的焦点位置、开口方向 ？ 问题： 一般地: 标准方程要将二次项系数化为1 一次项字母代表焦点所在的数轴 符号代表焦点在正或负半轴. ( 2 ) ： 一次项的变量如果为X（或Y），则焦点就在X轴（或Y轴）上。 (3) ：一次项的系数决定了开口方向:正数与正半轴同方向，负数则相反。 例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。 例2、求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。 ． A O y x 解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p= 当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p= ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。 例3、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点（如图）， 若点M 的横坐标为X0， 则点M到焦点的距离是 X0 + — 2 p O y x ． F M ． 练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0）； （2）准线方程 是x = ； （3）焦点到准线的距离是2。 y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 （4） （3） （2） （1） 准线方程 焦点坐标 （5，0） x= -5 （0，—） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （- —，0） 5 8 （0，-2） y=2 例1、与点A（1，0）和直线x-y-1=0距离相等的点的轨迹是（） A、椭圆 B、双曲线、C、抛物线 D、直线 例2、点P到点F（0，3）的距离比它到直线a：y=-4的距离小1，则点p的轨迹是( ) 新授内容 一、抛物线的范围: y2=2px y取全体实数 X Y X ? 0 *