2021届二次函数压轴题附答案.pdf

2021年中考数学压轴题

如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）两点，与y轴交于

点B．

（1）求这条抛物线的顶点坐标；

（2）已知AD＝AB（点D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单

位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t（s）的

移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若

存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）

两点，

∴{16+4+4=0．

9−3+4=0

1

=−

解这个方程，得{3．

1

=

3

11

2+

∴该抛物线解析式是y=−xx+4．

33

111149

2+2+

∵y=−xx+4＝y=−（x−）．

333212

149

∴这条抛物线的顶点坐标是（，）；

212

（2）∵A（﹣3，0），C（4，0），

∴OA＝3，OB＝OC＝4，

则AB＝5，AC＝7，CD＝2；

如1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，得：

∠PDB＝∠QDB，

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而AD＝AB，得：∠ABD＝∠ADB，

故∠QDB＝∠ABD，

得QD∥AB；

7

∴△CDQ∽△CAB，则有：==，

2

2

∴=．

57

101025

∴PD＝DQ=，AP＝AD﹣PD＝5−=，

777

25

故t=；

7

（3）存在，

如图2，连接AQ交对称轴于M，此MQ+MC为最小，

过Q作QN⊥x轴于N，

∵DQ∥AB，

∴∠QDN＝∠BAC，

sin∠QDN＝sin∠BAC==，

4

∴=，

510

7

8

∴QN=，

7

设直线BC的解析式为：y＝kx+b，

把B（0，4）和C（4，0）代入得：{4+=0，

=4

解得{=−1，

=4

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，

88

当y=时，=−x+4，

77

20

x=，

7