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第六章 平面向量及其应用(思维导图+知识清单) 高一数学 (人教A版2019必修第二册).docx

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第六章平面向量及其应用(思维导图+知识清单)

【人教A版(2019)】

6.1平面向量的概念

【知识点1向量的概念】

1.向量的概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.

注:

①本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.

③向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.

2.向量的表示法

(1)有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

(2)向量的表示方法:

①字母表示法:如等.

②几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段(注意始点一定要写在终点的前面).如果用

一条有向线段表示向量,通常我们就说向量.

3.向量的有关概念

(1)向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

(2)零向量:长度为零的向量叫零向量.记作,它的方向是任意的.

(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

注:

①在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定.

②在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.

③非零向量与的关系:是与同方向的单位向量.

【知识点2相等向量与共线向量】

1.向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.

注:

①零向量的方向是任意的,注意与0的含义与书写区别.

②平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

③共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等的向量.

2.用共线(平行)向量或相等向量刻画几何关系

(1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行,但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.

3.平行向量有关概念的三个关注点

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.

(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆.

6.2平面向量的运算

【知识点1平面向量的线性运算】

1.向量的加法运算

(1)向量加法的定义及两个重要法则

定义

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

向量

加法

的三

角形

法则

前提

已知非零向量,在平面内任取一点A.

作法

作,连接AC.

结论

向量叫做与的和,记作,即.

图形

向量

加法

的平

行四

边形

法则

前提

已知两个不共线的向量,在平面内任取一点O.

作法

作,以OA,OB为邻边作四边形OACB.

结论

以O为起点的向量就是向量与的和,即.

图形

规定

对于零向量与任一向量,我们规定.

(2)多个向量相加

为了得到有限个向量的和,只需将这些向量依次首尾相接,那么以第一个向量的起点为起点,最后一

个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和,如图所示.

2.向量加法的运算律

(1)交换律:;

(2)结合律:.

3.向量的减法运算

(1)相反向量

我们规定,与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,记作.零向量的相反向量仍是

零向量.

(2)向量减法的定义:

向量加上的相反向量,叫做与的差,即.求两个向量差的运算叫做向量的减

法.

(3)向量减法的三角形法则

如图,已知向量,在平面内任取一点O,作,,则.即

可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

4.向量的数乘运算

(1)向量的数乘的定义

一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度与

方向规定如下:

①;

②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反.

(2)向量的数乘的运算律

设为实数,那么①;②;③.

特别地,我们有,.

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,以及任意实数,恒有.

5.平面向量线性运算问题的求解思路:

(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化;

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向

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