C07 应力状态和强度理论2.ppt

7.5 三向应力状态 对于受力物体内一点处的应力状态, 最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力, 而且切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量。 7.5 三向应力状态 x平面上有正应力sx, 切应力txy, 和txz。切应力的两个下标中, 第一个下标表示切应力所在平面, 第二个下标表示切应力的方向。 7.5 三向应力状态 在一般的空间应力状态的9个应力分量中, 根据切应力互等定理, 在数值上有txy＝tyx, txz＝tzx, tyz＝tzy,因而, 独立的应力分量是6个, 即sx, sy, sz, txy, tyz和tzx。 空间应力状态是一点处应力状态中最为一般的情况, 上节所讨论的平面应力状态可看作是空间应力状态的特例, 即有一个主应力等于零。 弹性理论证明: 左图单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着右图应力圆上或阴影区内的一点。即三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。 7.5 三向应力状态 整个单元体内的最大切应力为: 7.5 三向应力状态 7.5 三向应力状态 最大正应力为: 7.5 三向应力状态 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 6个应变分量的正负号规定仍与以前相同, 即线应变ex, ey, ez以伸长为正, 缩短为负; 切应变gxy, gyz和gzx (依次表示直角∠xOy, ∠yOz和∠zOx的变化)均以使直角减小者为正, 增大者为负。按这样的正负号规定, 正值的切应力就对应于正值的切应变。 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.8 广义虎克定律 7.9 复杂应变状态的应变能密度 物体受外力作用而产生弹性变形时, 在物体内部将积蓄有应变能, 每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度。 若已知空间应力状态下单元体的三个主应力, 则沿主应力方向只有线应变, 而无切应变。 与主应力s1, s2, s3相应的线应变分别记为e1, e2, e3, 称为主应变。主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值。 在已知主应力的平面应力状态下 在线弹性范围内, 由于各向同性材料的正应力只引起线应变, 因此, 任一点处的主应力指向与相应的主应变方向是一致的。 材料的三个弹性常数E, G和m间存在着如下关系: 例: 已知一受力构件自由表面上的两个主应变数值为e1＝240×10-6, e3＝-150×10-6。构件材料为Q235钢, 其弹性模量E＝210 GPa, 泊松比m＝0.3。求该点处的主应力值, 并求该点处另一主应变e2的数值和方向。 解:主应力s1, s2, s3与主应变e1, e2, e3一一对应 在构件自由表面上主应力s2＝0。该点为平面应力状态。 该点处另一主应变e2的数值为 主应变e2是缩短, 其方向必与e1和e3垂直, 即沿构件表面的法线方向。 例: 一直径d＝20mm的实心圆轴, 在轴的的两端加转矩m＝126 N·m。在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45o方向的应变?＝5.0?10-4, 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。 m m A 45o x 解: 包围A点取一单元体 tx A ty tx A ty s3 s1 -45o 例: 壁厚t＝10mm , 外径D＝60mm 的薄壁圆筒, 在表面上k点处与其轴线成45o和135o角即x, y两方向分别贴上应变片, 然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶, 如图所示, 已知圆筒材料的弹性常数为E＝200GPa和m＝0.3, 若该圆筒的变形在弹性范围内, 且?max＝80MPa, 试求k点处的线应变?x, ?y以及变形后的筒壁厚度。 D t y m k x y x 可求得 解: 从圆筒表面k点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图所示 D t y m k x s3 s1 tmax tmax 45o k点处的线应变?x, ?y为 y x s3 s1 tmax tmax 45o 拉应变 压应变 圆筒表面上k点处沿径向(z轴) 的应变为 同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为?)处的径向应变为 因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为t＝10 mm。 体积应变 构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变, 用q表示。 ?1 ?2 ?3 a1 a2 a3 设单元体的三对平面为主平面, 三个边长为a1, a2, a3。 变形后的边长为a1(1+e1?, a2(1+e2?, a3(1+e3?。 变形后单元体的体积为 由体应变的定义, 并在小变形条件下略去线应变乘积项的高阶微量, 可得 在平面纯剪切应力状态下: 材料的体积应变等于零。即在小变形下, 切应力不引