第四章稳定性分方法地拓展——李雅普诺夫方法.ppt

2006-3-26 北京科技大学 自动化系 一：预备知识 标量函数的符号性质： 设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数 ,且在x=0处 恒有V(x)=0,对所有域 中的任何非零矢量x，如果成立： 1) , 则称V(x)为正定的,例如： 2) , 则称V(x)为半正定的(或非负定的)，例如： 3) , 则称V(x)为负定的,例如： 4) , 则称V(x)为半负定的,例如： 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 5) V(x)0或V(x)0, 则称V(x)为不定的，例如： 例5.4：判别下列各函数的符号性质 1): 设 ，标量函数为： 2): 3): ，V(x)正定。 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数： 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统稳定性中起着重要的作用。 定义：（二次型标量函数）设 是一向量，矩阵P为实对称矩阵 正交变换T 则称： 为二次型标量函数。 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 于是，常称 为二次型函数的标准型。 定理5.4： 正定的充要条件是对称矩阵P的所有 特征值 均大于零。 简证：令正交变换阵T,且 则 令: 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数V(x)中P的性质和说明： 1）若V(x)正定，则称P为正定， 记作P0； 2）若V(x)负定，则称P为负定， 记作P0； 3）若V(x)半正定，则称P为半正定，记作P≥0； 4）若V(x)半负定，则称P为半负定，记作P≤0。 由上可见，P的符号性质与V(x)定义的符号性质 完全相同。 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数性质的判别方法： 定义法：见例5.4。 希尔维斯特判据法： 设实对称矩阵 例5.5 试判断如下P阵对应的二次型函数的正定性。 (1) (2) 半正定。 正定。 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 若 为半负定，那么平衡状态 在李雅普诺夫意义 下稳定——称为李雅普诺夫稳定判据。 二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据 设系统的状态方程为 , 平衡状态满足 ,如果 存在一个标量函数V(x),它满足： (1) V(x)对所有x都是有连续的一阶偏导数 ； (2) V(x)是正定的，即当 (3) V(x)沿状态轨道方向计算时间导数分别满足下列条件： 满足 为半负定，但对 2) 若 为负定，或者虽然 不恒为零，那么原点平衡状态是 渐近稳定的。 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 如果进一步还有 ，则系统是大范围渐近 稳定的——李雅普诺夫渐近稳定判据。 3) 若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的——李雅普 诺夫不稳定判据。 几点说明： 1) 对于同一个系统(不论它是线性的，还是非线性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使 负定或半负定的V(x)（正定），则按照上述判据即知系统稳定性情况。 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 2) 即使找不到使V(x)正定， 负定的V(x)，也不能说明该系统是不稳定的，而只是没有找到而已，当然若找到了符合条件（3）的V(x)则可证明系统不稳定，找不到符合上面1)、2）、3）的V(x)不能下结论。 4) 若 ，这时运动轨迹只在某一时刻与某特定 曲面 相切，运动轨迹通过切点后会继续向原点 收敛，因此此情况的属于渐进稳定。 3) 对于 ，则 ，这意味着运动将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原点，这相当于极限环或者临界稳定。 4.3 李雅普诺夫第