线性代数学习指导1.doc

线性代数学习指导 《线性代数》课程的核心内容 1.课程主线上的6大矩阵 2. 两个矩阵与间的3大关系 (1)等价性；(2)相似性；(3)合同性 (注意：向量组的等价概念) 小结：(1)相似一定等价，合同也一定等价； (2)相似不一定合同，合同也不一定相似 3.矩阵本身的3个常用特性 (1)对称性;(2)正交性;(3)正定性 第一章 行列式 一、余子式与代数余子式 1.元素的余子式：(本质是个实数或者代数式) 定义：划去元素所在的第和第列的所有元素后，剩下的元素位置不变 所构成的新行列式 2.元素的代数余子式：(本质是个实数或者代数式) 关系：(两者要么相等，要么相反) 二、关于行列式的计算 方法一：对角线法(沙路法) 使用对象：只能适用二、三阶行列式，四阶及以上行列式不能用 方法二：行列展开法 使用对象：任意阶行列式 公式： (注：实际计算中经过适当的化简后，选择0元素最多的行或者列展开。) 方法三：按照行列式的性质化简后，(尽力)化为上三角行列式； 三、行列式的性质 性质1：行列式与其转置行列式行列(互换后的行列式)相等() 性质2：任意交换行列式的两行(列)，行列式的值变号 推论：行列式中若有两行(列)元素对应相同，则行列式的值为0 性质3：若行列式中某一行(列)有共同因子，可以将该因子提取到行列式符号前面 (对比：若是阶方阵，则) 性质4：行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则行列式的值为0 性质5：(拆分性质)行列式可以按行(列)拆开 性质6：(放大平移不变性质) 把行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列) 的对应元素上去，行列式的值不变 (第行的倍加到第1行,行列式的值不变) 三、特殊行列式的值 1．上三角行列式 　　 2．下三角行列式 　　 3．对角行列式 　　 四、几个行列式的关系(常考考点) 如为阶方阵，则 　 五、克拉默法则 含有个方程的元线性方程组的一般形式为 (1)，它的系数构成的阶行列式 (实质：) 称为方程组(1)的系数行列式 定理(克拉默Cramer法则)如果个方程的元线性方程组(1)的系数行列式，则方程组必有唯一解： 其中 (其实就是用方程组右边的常数列来代替系数行列式中的第列元素) 六、齐次线性方程组及其解 方程组(1)中的常数，这时对应的方程组为 (2) ,称为齐次线性方程组 (实质：) 结论：若此时系数行列式，则方程组(2)只有零解： (此时 故有唯一解(即零解) ); 若时，则它有无穷多个解，必有非零解) 第二章 矩阵及其运算 一、矩阵的概念(数表) 定义：由个数排成的一个行列的数表 ，称为一个行列矩阵． (1)称为矩阵的第行第列元素 (2)：行标; ：列标， (3)第行与第列的交叉位置记为 (4)一般用大写字母表示矩阵， 如,或，或 注意：一般情况下，若则称矩阵为阶方阵 二、特殊矩阵 1．行矩阵：只有一行元素的矩阵 (也可以称为维行向量, ) 2．列矩阵：只有一列元素的矩阵 (也可以称为维列向量,) 注意：向量是特殊的矩阵，而且是非常重要的特殊矩阵，后面会详细介绍 3．0矩阵：所有元素都为0的矩阵，用或者表示， 如 三、特殊方阵 1．阶对角阵：, 或者简写为 2．阶数量阵： 或者 3．阶单位阵：，或者 4．阶对称矩阵(实对称矩阵) ：设为阶实方阵，若，称为对称阵 () 5．阶反对称阵(实反对称矩阵)：设为阶实方阵，若，称为 反对称阵 () 注意：若为反对称矩阵，则必有(主对角线上的元素都为0) 6.可交换矩阵：满足,称为可交换矩阵 7.正交矩阵: 若阶实方阵满足，则称为正交矩阵 8.正定矩阵:正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵 四、同型矩阵 行数和列数都相等的两个矩阵，称为同型矩阵。 (就是两个同型矩阵) 五、矩阵的相等 定义：同型矩阵与，若对应元素都相等，即， 则称这两个矩阵相等，记作 六、矩阵的加法运算 1定义：同型矩阵与，由与的对应元素相加所得到的一个矩阵，称为 与的和，记为，即 2运算法则： (1)交换律 (2)结合律 (3) (4)消去律 (5) 其中称为的负矩阵，即 ,则 七、矩阵的数乘运算 1.定义：对于任意一个矩阵和任意一个数，规定与的乘积为 (每个元素都与相乘) 2运算法则： (1)结合律：，为任意实数 (2)分配律：，为任意实数 八、矩