單元函數的增減與極值.doc

單元:函數的增減與極值 主題:函數的遞增與遞減 設函數f(x)在[a,b]連續,而且在(a,b)可微分. 若對於所有均成立,則f(x)在[a,b]是遞增函數. 若對於所有均成立,則f(x)在[a,b]是遞減函數. 範例一: 試討論下列各函數的遞增遞減所在的區域 (1)f(x)=-x3-3x2+6 (2)f(x)=-x4+8x2 類題: 試討論下列各函數的遞增遞減所在的區域 1.f(x)=-x3-3x2+9x+2 解答:-3,遞增;x≦-3或x≧1遞減 2,f(x)=3x4+4x3+6x2+12x+6 解答:x≧-1,遞增;x≦-1,遞減 3. 解答:恆為遞增 範例二: 設函數f(x)=ax3-3x2+(a+2)x+6恆為遞減函數,則實數a的範圍? 類題: 設函數f(x)=x3+ax2+ax+1,若對於任意的實數x而言,f(x)恆為遞增函數,求實數a的範圍? 解答:0≦a≦3 範例三: 設x1,試証:對於任意大於1的自然數n,恆有xn+n1+nx 範例四: 試討論函數的增減區域? 類題: 試討論函數的增減區域? 解答: 主題:函數的極值 極大值:若在f(x)的定義域中非常接近d的每個x,f(d)≧f(x)都成立,則我們稱f(d) 是函數f(x)的一個極大值,或者說函數f(x)在x=d處有一個極大值.有時也稱 相對極大值. (2)極小值:若在f(x)的定義域中非常接近d的每個x,f(d)≦f(x)都成立,則我們稱f(d) 是函數f(x)的一個極小值,或者說函數f(x)在x=d處有一個極小值.有時也稱 相對極小值. (3)最大值:在f(x)的定義域中每個x,f(d)≧f(x)都成立,則我們稱f(d)是函數f(x)的一 個最大值,有時也稱絕對極大值. (4)最小值:在f(x)的定義域中每個x,f(d)≦f(x)都成立,則我們稱f(d)是函數f(x)的一 個最小值,有時也稱絕對極小值. 由上我們有幾個必須注意的地方: 函數的最大值必也是這個函數的一個極大值,同理函數的極小值必也是這個函數的一個極小值. 函數的最大值與最小值只有一個;但極大值與極小值則不一定只有一個. 函數的最大值一定比其他的值來的大,但極大值未必就一定比極小值大;同樣的,函數的最小值一定比其他的值來的小,但極小值未必就一定比極大值小. 在函數的定義域中,全部的極大值中最大的就是最大值,全部的極小值中最小的就是最小值 極值的產生: (1)函數中滿足的實數解.(但必須在此根的左右微分值異號才算) 左負右正(左降右升)極小值.左正右負(左升右降)極大值. (2)函數定義域的端點. (3)函數微分值不存在的點. 範例一: 1.求函數f(x)=x3-3x2-9x+1的極大值,極小值 2.求函數f(x)=-3x4-4x3+12x2-1的極大值,極小值 類題: 1.求函數f(x)=-x3+2x2-x+1的極大值,極小值 解答: 2.求函數f(x)=x4-4x3+4x2-1的極大值,極小值 解答:x=0極小-1;x=2,極小-1;x=1,極大0 範例二: 1.求函數的極值 2.求函數的極大值,極小值 類題: 求函數的極值 解答:x=-1,極小1;x=1,極大9 範例三: 1.求函數f(x)=2x3-9x2+12x-2(0≦x≦3)的最大,最小 2.求函數f(x)=3x4-4x3-12x2,若(1)-1≦x≦1,的最大,最小 (2)-2≦x≦3, 的最大,最小 類題: 設函數f(x)=-3x4-4x3+12x2-1,-3≦x≦2的最大?,最小? 解答:x=-2,最大31;x=2,最小-33 範例四: 1.設函數f(x)=2x3+ax2+bx+9在x=1與x=2時均有極值,試求數對(a,b)=? 2.設函數,若f(2)=1,且f(x)在x=2處有極值,求數對(a,b)=? 類題: 1.設函數f(x)=-x3+ax2+bx+c,若f(x)在x=-2有極小值-7,在x=1有極大值.求數對(a,b,c)=? 解答: 2.已知f(x)為三次多項函數,當x=-1時,f(x)有極大值8;x=2時,f(x)有極小值-19,求f(x)=?