专题03全等三角形中的一线三垂直模型解析版.pdf

专题03全等三角形中的一线三垂直模型

【模型展示】

特点

ABC

【已知】如图，为等腰直角三角形，ADDE,CEDE

【证明】由，

BADABD90,CBEABD90CBEBAD

BADCBE







同理ABDBCE，在ABD和BCE中,ABBCABDBCE.





ABDBCE



结论ABDBCE,DEADCE.

【模型证明】

【结论一】

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

解决方案

则有以下结论成立：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE

【证明】：

①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，CD＝BE，

∵DC+CE＝DE，

∴DE＝AD+BE．

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE＝AD﹣BE

②DE＝BE﹣AD

【题型演练】

一、单选题

1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所

示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（）

A．40cmB．48cmC．56cmD．64cm

【答案】C

【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可

以证明DE的长为7块砖的厚度的和．

【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，

∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，

在△ACD和△CBE中，

ADCCEB





ACDCBE

，

ACCB



∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，

∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，

∵a＝8cm，

∴7a＝56cm，

∴DE＝56cm，

故选C．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判

定条件．

2PD∠ABCBABCABC60