2024_2025学年新教材高中数学第12章复数1复数的概念学案苏教版必修第二册.doc

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复数的概念

【概念认知】

1．复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满意i2＝－1；复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．

2．复数的分类

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．

3．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．

【自我小测】

1．(1＋eq\r(3))i的实部与虚部分别是()

A．1，eq\r(3) B．1＋eq\r(3)，0

C．0，1＋eq\r(3) D．0，(1＋eq\r(3))i

【解析】选C.(1＋eq\r(3))i可看作0＋(1＋eq\r(3))i＝a＋bi，

所以实部a＝0，虚部b＝1＋eq\r(3).

2．假如(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为()

A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1

C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0

【解析】选A.因为(x＋y)i＝x－1，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－1＝0，))

所以x＝1，y＝－1.

3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()

A．－2＋iB．2＋i

C．1－2iD．1＋2i

【解析】选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，

则由题意得1＋xi＝y＋2i，

依据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，

故x＋yi＝2＋i.

4．下列命题：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；

③两个复数不能比较大小．

其中错误命题的序号是________．

【解析】当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x2＋3x＋2≠0，))

即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特别状况，故③错．

答案：①②③

5．已知x2＋ix＋6＝2i＋5x，若x∈R，则x＝________；若x∈C，则x＝________．

【解析】当x∈R时，由复数相等的充要条件得

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＝0，,x＝2，))解得x＝2；

当x∈C时，令x＝a＋bi(a，b∈R)，

则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2－b＋6＝5a，,2ab＋a＝2＋5b.))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1.))

所以x＝2或x＝3－i.

答案：23－i或2

6．实数x取什么值时，复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6))＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

【解析】(1)当x2－2x－15＝0，

即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；

(2)当x2－2x－15≠0，

即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；

(3)当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，

即x＝2时，复数z是纯虚数．

【基础全面练】

一、单选题

1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选B.a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，此时ab＝0；反之ab＝0不能得出a＝0，b≠0.所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．

2．若a，b∈R,且ab，那么()

A．aibi B．a＋ib＋i

C．ai2bi2 D．bi2ai2

【解析】选D.虚数不能比较大小，故A，B错；

因为i2＝－1，ab，所以ai2bi2，故C错D对．

3．假如z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()

A．1B．0

C．－1D．－1或1

【解析】选B.由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（m＋1）＝0，,m2－1≠0，))解得m＝0.

二、填空题

4．以eq\r(5)i－eq\r(5)的虚部为实部，以8i2＋eq\r(2)i的实部为虚部的复数是________．

【解析】