2024_2025学年新教材高中数学第四章概率与统计2.1随机变量及其与事件的联系学案新人教B版选择性必修第二册.doc
PAGE
PAGE8
随机变量及其与事务的联系
1．随机变量的概念
概念
一般地，假如随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．
表示
随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．
取值
随机变量的取值由随机试验的结果确定．
取值
范围
随机变量全部可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
分类
离散型随机变量
随机变量的全部可能取值可以一一列举出来．
连续型随机变量
随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来．
随机变量与随机试验的结果的关系是怎样的？
提示：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．
2．随机变量与事务的关系
一般地，假如X是一个随机变量，a，b都是随意实数，那么X＝a，X≤b，Xb等都表示事务，而且：
(1)当a≠b时，事务X＝a与X＝b互斥；
(2)事务X≤a与Xa相互对立，因此
Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤a))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Xa))＝1.
若a，b都是随意实数，随机变量Xa与X≥a都表示事务吗？表示的事务是什么关系？
提示：都表示事务，相互对立关系．
3．随机变量之间的关系
一般地，假如X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝t))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝at＋b))．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量的取值只能是有限个．()
(2)试验之前不能推断离散型随机变量的全部值．()
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()
提示：(1)×.随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．
(2)×.试验之前可以推断离散型随机变量的全部值．
(3)√.
2．(教材二次开发：练习改编)在掷一枚质地匀称的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有________个取值()
A．2B．4C．6D．7
【解析】选C.因为掷一枚质地匀称的骰子试验中，全部可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．
3．假如X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y()
A．不肯定是随机变量
B．肯定是随机变量，不肯定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．肯定是离散型随机变量
【解析】选D.若X是离散型随机变量，依据随机变量之间的关系，则Y必是离散型随机变量．
类型一随机变量的概念(数学抽象、逻辑推理)
1．投掷一枚1元硬币一次，随机变量为()
A．掷硬币的次数
B．出现正面对上的次数
C．出现正面对上或反面对上的次数
D．出现正面对上与反面对上的次数之和
【解析】选B.投掷一枚1元硬币，可能出现的结果是正面对上或反面对上，以一个标准如正面对上的次数来描述这一随机试验，那么正面对上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.而A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中出现正面对上和反面对上的次数的和必是1，对应的是必定事务，试验前便知是必定出现的结果，也不是随机变量．
2．①某电话亭内的一部电话1小时内运用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950～1200Ω之间的记为X；
④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.
其中是离散型随机变量的是()
A．①②B．①③C．①④D．①②④
【解析】选A.①②中变量X全部可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
3．(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是()
A．马六甲海峡某天经过的轮船数X
B．某超市5月某电话份每天的销售额X
C．某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ
D．江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内改变，该水位站所测水位ξ
【解析】选AB.A选项中轮船数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量；B选项中某超市5月份每天销售额X可以一一列出，故为离散型随机变量；C选项中实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量；D选项中水位在(0，29]这一范围内改变，无法一一列出，故不是离散型随机变量．
离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示；
(2)试验之前可以