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实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就上的函数和函数计算和 解:回忆即 (为上全体有理数之集合) 回忆: 可测为可测集和P129定理2:若是中测度有限的可测集, 是上的非负有界函数,则为上的可测函数 显然, 可数，则，,从而可积 由P134Th4(2)知 回忆函数: 在数学分析中我们知道, 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在上可积, 于上,故可测(P104定理3),且 而(可数,故)故 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若,都是上的非负有界函数,则 下面证明之: ,有下积分的定义,有的两个划分和使 , 此处,分别是关于和关于的小和数,合并而成的一个更细密的划分,则当为关于的小和数时 (用到下确界的性质和P125引理1) 由的任意性,令,而得 3.补作定理5中的情形的详细证明 证明:令,当时, ,存在,当时, 则存在使 (利用有限时的结论,Th5中已详证) 由的任意性知 证毕. 4.证明:若是上的非负函数, ,则 证明:令, 则 可测，故（）都是可测集，由P135Th4(2)和，非负知 故；同理 故 故从非负，，知于.证毕. 5．证明：当时，上的非负函数的积分的充要条件是 证明：令，， 当，非负，故从知 ，而 注意由单调收敛定理和可测知 所以，若，则有 则，故充分性成立. 为证必要性，注意，令，则 （） 证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是定理的应用，也可看成是基本定理的应用，或定理的应用. 是上的一个测度（离散的） ，为自然数集，看成 ，也可这样设，则 ，令，，令 ，同理，，则， 为简单函数，，则可测 6.如果都是上的非负可测函数，并且对于任意常数都有 则 证明：若存在使，则结论成立. 故，，，则 ，及，令及 则 ，互不相交 同样，，互不相交 令，则，都是非负简单函数，且均为单调不减关于，， 注意到 故 故由定理知 7．设，是上的有界非负可测函数，， 使 ， 证明： 证明：显然，由可测于知，是可测集（）且，又在上表明 记 （大和数）， （小和数） 则从有界可测知在上可积（P129Th2），故 ，又从知 ，则 （从知） 故 8．设，是上的非负可测函数，，，证明： 证明：由本节习题5知， 则 ，故 (1) 反证设，则使，使 ，所以,显然从知 得矛盾 所以 9．设是上的非负可测函数，，对任意的，令 证明：是上的连续函数 证明：显然为可测集；又在上非负可测，故，在上也可测，且，故是上有定义的函数 先设于上，此时有 （当） 这里最好是用来看.（下一节！） 也可这样看， ，而 ，故 得不出结果！ 则 当时 则是连续的 对一般可测函数，令，则可测于，且于，单调不减，故由定理知 ，使 对上述固定的，是连续于上的 则，当时 则当时 ， 则 从而在上连续得证. 10．证明：若非负可测函数在上的积分，则对任意，都有的可测集，使 证明：由第9题知，在本题条件下是上的连续函数 若，则任取一单点，，则 ，即 若，则取，则 若 注意到， （的边界） 满足 若，，则 而，故 则充分大时， 另一方面， （当有界时，） 一般，，，使，，又，当时， 当时， 当时 故 由连续函数的中介值定理知，存在使，令 ，则，，证毕. 11．设，是的个可测子集，正整数，证明：若中每一点至少属于个，则有，使 证明：反证，设有，则由于，至少属于个，故 （），而，故 得矛盾 所以使.（徐森林书P242） 12. 设，且在上可测，证明：对任意，都有，使只要，，便有 证明：反证，设，但 令 ；则，都是可测集，且从知 （，互不相交） 所以使 ， 故 在上， 所以 ，得得矛盾，故结论不成立 时，，，结论不会成立 13．设，是上的有界非负可测函数，证明有上的非负单调不增函数使对任意常数都有，进而证明 证明：，令且，显然是上的