浙教版--中考及中考模拟考试--几何模型总结专题8：全等之半角模型（原卷版）.pdf

专题8“各类半角”模型

模型:全等之手拉手模型

【模型介绍】一般我们认为：角模型是指有公共顶点，较小角等于较大角的一，较大的角的两边需要

相等，通过旋转等方式，可将角进行等量转化，构造成为“半角”模型.

【模型分析】

【1】半角模型之等边三角形（60°-30°型）

条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°；



21232

结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE＝(BD＋EC)+BD；

22



证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，

∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；

∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，

∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，



1133

过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD，

2222

13

222222

∵在直角三角形中：FE＝FH＋EH,∴DE＝(BD＋EC)+(BD)；

22

【2】半角模型之等边三角形半角模型（120°-60°型）

条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；



结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；



⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC.

证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，

∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，

∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，

∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，



过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，

∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，

∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC.

【3】半角模型之等腰直角三角形（90°-45°型）

条件：ABC是等腰直角三角形