浙教版--中考及中考模拟考试--几何模型总结专题5：截长补短模型（原卷版）.pdf

专题5“线段和差—截长补短”模型

模型:线段和差—截长补短

【模型介绍】当遇到一个“线和差问题时，解决问题的逻辑很容易想到“截长补短”方法，转移线和

差，这样就可以把问题转化线相等或者成倍数问题了，再利用全等或者相似解决，这样的转化方法美其

名曰“线段和差—截长补短模型”。

【模型分析】

1．（核心点）线段和差，主要是在等腰三角形等有相等的边载体呈现;

2.(辅助线)在jiaochang线段截取，或者较短线段补齐等如下图；

3.模型识别：问题主要是线段和差等问题，；

命题：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C.

结论：AB＋BD＝AC.

逻辑分析：线段和差—截长补短.

方法1（截长法）证明：:在线AC上截取线AB′＝AB，连接DB.

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠B′AD，

∵AD=AD，

∴△ABD≌△AB′D（SAS）

∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，

∵∠B=2∠C，

∴∠AB′D=2∠C，

∴∠AB′D=2∠C，

∴∠B′DC=∠C，

∴B′C＝B′D，

∴BD=B′C，

∵AB′＋B′C＝AC，

∴AB＋BD＝AC.

方法2（补短法）证明：延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′.

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠C′AD=∠CAD，

∵AD=AD，

∴△C′AD≌△CAD（SAS）

∴∠C′=∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠B=2∠C′，

∴∠BDC′=∠C′，

∴BC′＝BD，

∵AB＋BC′＝AC′，

∴AB＋BD＝AC.

【模型分层应用—基础】

1．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如1，在△ABC中，∠A＝2∠

B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连

接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：

如3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长

（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（ꢀꢀ）

A．a和bB．a和cC．b和cD．a、b和c

2．如1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？

小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平

分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

（1）判定△ABD与△AED全等的依据是ꢀꢀ；

（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：ꢀꢀ．

3．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法一：如2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．

方法二：如3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．

（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面

的问题；

（2）如4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、

CE、BE之间的数量关系，并证明．

4．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；

小明通过思考发现可以通过“截长或补短”两种方法解决问题：

方法一：如2，在AC上截取AE使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．

方法二：如3，延长AB到点E使得BE＝BD，连接