正方体截面的形状.ppt

* 作者:217林哲安 指導老師:桂雪萍老師 研究動機： 在一年級資優甄試時遇 到類似的考題，於是就 想要更加深入研究這個 問題，因此決定由此題 目作一研究，想想正方 體的截面會不會有什麼 特殊奇妙的性質，並加 以討論。 研究方法： 作正方體截面就由老師提供的正方體壓克力 盒子（如下圖），在裡面裝水，水面即代表 了截面，就不用真的切囉。 什麼是截面？ 截面就跟他名字一樣，就是像用刀子 切 出來的面。 　　　　　雖然有很多種切法，但在這裡只討論切平面而不討論曲面。 截面： 現在要討論正方體的截面 先把正方體的截面形狀分成幾個部分討論： 一、三角形：三角形、正三角形、直角三角 　　　　　　形、等腰三角形、鈍角三角形… 二、四邊形：正方形、長方形、平行四邊形 　　　　　　、菱形、梯形、等腰梯形… 三、其他：正五邊形、 　　　　　正六邊形、 　　　　　正七邊形… 我們先設一正方體邊長為n，如下圖： 開始討論截面吧！ 三角形截面： 正三角形： 等腰三角形： 其他直角三角形、鈍角三角形…都無法截出 因為三角形至少其中一個頂點必要在正方體 頂點上，而一頂點在正方體頂點上之最大角 度即為最大之正三角形－６０度，否則如果 圖形沒有任一點在正方體頂點上而在邊上圖 形邊數最少即為四邊形；所以不可能出現直 角或鈍角三角形（角度小於９０度）。 但有人想如果我這樣切（下面二圖） 不就可切出直角跟鈍角嗎？ Ｏ Ｏ 答案是：沒有這種切法。 因為你看看，此兩圖雖然兩個邊都在正方體 之一面上，但是有一個邊是存在於正方體內 ，而這樣即不是截面了。所以還是不可能出 現直角或鈍角三角形。 面積最大的三角形截面： 四邊形截面： 正方形： 長方形： 四邊形截面： 梯形： 等腰梯形： 這邊來做個說明： 為什麼ＡＢ會平行ＣＤ？ 因為： 正方體ＣＤ那一面和ＡＢ那一 面是相對的面，所以截面會互 　相平行－因為截面不會彎曲 　，所以只要切到之兩面是平 　行的，此兩邊就會平行。 四邊形截面： 菱形： 面積最大的四邊形截面： 　　此四邊形兩點位於 正方體頂點，兩點位於 正方體邊長之中點，所 以此四邊形四個邊都是 　　，而四角不相等， 所以此四邊形為菱形。 大於四邊之其他形狀截面： 五邊形： 正六邊形： 可是這樣又不能確定是正六邊形 雖然我們知道它每一邊都是 　2n 但是它每邊還是得120度才行 來確認吧！ 要怎麼算呢？ 只要把它當成一長方體對角線 算就好了（見右圖） 首先取六邊形中一三角形 （如右圖藍色部分），只 要確定Ｂ的度數是120就 好了，首先要先算出ＡＣ 的長度。 依長方體對角線公式： 所以： 再算出 長為 三角形就完成邊長了（右上圖） （ＸＹＺ各代表長方體的長、寬、高。） 依畢氏定理，算ＡＣ到Ｂ之高 接著把ＢＣ、ＡＣ的一半和 ＡＣ上的高比起來 而這三邊比就是直角三角形30度.60度.90度 的組合，so角Ｂ的一半為60度。 所以角Ｂ就是120度啦！ 因此這六邊形為正六邊形 大於四邊之其他形狀截面： 六邊形以上的多邊形無法切出來 為什麼？ 因為正方體每個面只能有一個圖 形的邊，才是一個直的截面，才 能切成一直線，每個面只能有一 個邊，而正方體只有六個面，所 以截面最多只能有六個邊。 最大面積截面： 有兩個圖形（長方形跟正六邊形）比較可能， 來比較看看吧 可是用看的實在看不出哪個大 那就用算的吧！ 先算長方形面積 長方形比較好算，只要長乘以高 寬就是正方體邊長n了 那長就依照畢氏定理 兩股為n，斜邊長即對角線長 再乘以n，面積就是 正六邊形面積就比較麻煩了 先把它切成六個正三角形 如右圖 則其一正三角形邊長AB即為 右圖即為ＡＢＯ之放大圖。 要求面積就得先知道此三角 形的高， 來求吧 斜邊為 ，底面一半 就當一股 ←這就是ＡＢＯ的高啦！ 運用商高定理 *