[江苏省徐州市20122013学年高二上学期期末考试数学理试题.doc

2012--2013学年度第一学期期末抽测 (理科) 4小题。5分。共计70分． 1．命题R，≥”的否定是 ． 2．直线的倾斜角为 ． 3．抛物线的焦点坐标是 ． 4．双曲线的渐近线方程是 ． 5．已知球的半径为3，则球的表面积为 ． 6．若一个正三棱锥的高为5，底面长为6，则这个正三棱锥的体积为 ． 7．函数在点(1，)处的切线方程为 ． 8． ，，若，则的值等于 . 9．已知圆与圆相内切，则实数的值为 ． 10．已知；命题，若是的充分不必要条件，则正实数的。 11．已知两条直线和都过点 (2，3)，则过两点的直线的方程为 12．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为 ． 13．如图，已知(常数)，以为直径的圆有一内接梯形，，若椭圆以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，椭圆的离心率为 ． 14．设函数， ，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则当 时，实数的取值范围为 ． 6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 如图，在正方体中，，分别为棱，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面． 16．(本小题满分l4分) 已知圆经过三点，，． (1)求圆的方程； (2)求过点且被圆截得弦长为4的直线的方程． 17．(本小题满分14分) 已知在长方体中，，，，，分别是棱， 上的点，且，，建立如图所示的空间直角坐标系．求： 1）异面直线与所成角的余弦值； 直线与平面所成角的正弦值。 18．(本小题满分l6分) 现有一张长厘米、宽60厘米的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失． 方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积； 方案二：如图(2)，若从长方形的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼? 。 19．(本小题满分l6分) 在平面直角坐标系中，椭圆的，， 左、右顶点分别为，，离心率为，到，的距离的平方和为6． (1)求的轨迹方程； (2)若，为椭圆上位于轴上方的动点，直线， 分别交直线于点，． (i)当直线的斜率为时，求 的面积； (ii)求证：对任意的动点，为定值． 20．(本小题满分l6分) 已知函数，在点 处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若过点可作出曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围； (3)若对任意，均存在，使得≤，试求实数的 取值范围． 2012—2013学年度第一学期期末抽测 高二数学（理）参考答案与评分标准 一、填空题： 1．， 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14. 二、解答题： 15．（1）连结在中，、为棱、的中点，故// 又//所以//，……………2分 又平面平面 所以直线∥平面．………………6分 （2）正方体中，底面 是正方形，则………………8分 又平面，平面则， …… 又平面平面所以平面，平面所以平面平面．………14分 16．（1）设圆的方程为，则…3分 解得，，， …………………………………6分 所以圆的方程为． ………………………………7分 （2）①若直线斜率不存在，直线方程为，经检验符合题意； ……………9分 ②若直线斜率存在，设直线斜率为，则直线方程， 即，则，解得， ………………………12分 所以直线方程为． 综上可知，直线方程为和． …………………………14分 17．由题意知，，，，，， （1），， ， ………………5分 可得异面直线与所成角的余弦值为． …………………7分 （2），，设平面的法向量为， 则，即，解得， 不妨取，则，，故平面的一个法向量为，10分 则，………………12分 根据图形可知，直线与平面所成角的正弦值为． ……………14分 18．，由题意得，， 所以铁皮盒的体积为． …………………………4分 方案二：设底面正方形的边长为，长方体的高为， 由题意得，即， 所以铁皮盒体积， ……………………10分 ，令，解得或（舍）， 当时，；当时，， 所以函数在时取得最大值．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可． ……………………………15分 答：方案一铁皮盒的体积为；