泛函分析课后练习题答案.pdf

第七章 习题解答 1 X d ．设（ ， ）为一度量空间，令 U(x ,){x|xX,d(x,x )},S(x ,){x|xX,d(x,x )}0 0 0 0 问U(x ,)的闭包是否等于S(x ,)？ 0 0 X d ={ } =X 解 不一定。例如离散空间（ ， ）。U(x ,1) x0 0 ，而S(x ,1)0 。 X U(x ,1) S(x ,1) 因此当 多于两点时， 0 的闭包不等于 0 。 2  C [a,b] [a,b] 设 是区间 上无限次可微函数的全体，定义 (r) (r)  1 f (t)g (t) d(f ,g) r max (r) (r) r0 2 atb 1f (t)g (t)  C [a,b] d(f ,g) 证明 按 成度量空间。 证明 (r) (r) f (t)g (t) （1）若d(f ,g)=0，则max =0，即f=g atb (r) (r) 1f (t)g (t) (r) (r)  1 f (t)g (t) （2）d(f ,g) r max (r) (r) r0 2 atb 1f (t)g (t) (r) (r) (r) (r)  1 f (t)g (t) h (t)g (t)  r max (r) (r)  (r) (r) r0 2 atb 1f (t)g (t) 1h (t)g (t) (r) (r) (r) (r)  1 f (t)g (t)  1 h (t)g (t)  r max (r) (r)  r max (r) (r) r0 2 atb 1f (t)g (t) r0 2 atb 1h (t)g (t) =d f g +d g h （， ） （， ）  C [a,b]