2023-2024学年上海理工大附中高三第五次模拟考试数学试卷含解析.doc
2023-2024学年上海理工大附中高三第五次模拟考试数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设、，数列满足，，，则（）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
2．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（）
A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．
3．函数的图象大致为
A． B． C． D．
4．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．在中，，，，为的外心，若，，，则（）
A． B． C． D．
6．展开项中的常数项为
A．1 B．11 C．-19 D．51
7．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（）
A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1
B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AE
C．四面体EMAC的体积为定值
D．四面体FA1C1B的体积不为定值
9．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（）
A． B． C． D．
10．已知三棱柱()
A． B． C． D．
11．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，满足约束条件，则的最大值为________．
14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
15．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
分组
频数
（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.
18．（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.
19．（12分）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点，求的正切的最大值.
20．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
21．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；
（2）化简求值：．
22．（10分）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面