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备考考研数学概率统计考点总结

概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大样本统计推断基础参数估计方法假设检验基本原理与步骤目录

01概率论基本概念

所有可能结果的集合，通常用Ω表示。样本空间事件基本事件必然事件和不可能事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。事件通常用大写字母A,B,C等表示。样本空间中的单个元素，即最简单的事件。样本空间Ω和空集?分别表示必然发生和不可能发生的事件。样本空间与事件

概率定义及性质事件A发生的可能性大小，记为P(A)。概率是一个介于0和1之间的实数。非负性、规范性、可列可加性等。样本空间中每个基本事件发生的可能性相等的情况。通过几何图形的面积、体积等计算概率的情况。概率定义概率性质等可能概型几何概型

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。条件概率P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)，其中P(AB)表示事件A和B同时发生的概率。乘法公式如果事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。独立性多个事件两两独立不一定意味着这些事件相互独立。多个事件的独立性条件概率与独立性

123如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，则对任何一个事件A，有P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)，其中i=1,2,...,n。全概率公式在全概率公式的基础上，可以推导出贝叶斯公式，用于计算后验概率P(Bi|A)。贝叶斯公式在已知一些相关信息的情况下，对某一事件发生的概率进行修正。这在统计学、机器学习等领域有广泛应用。贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式

02随机变量及其分布

设随机试验的样本空间为S，如果对于S中的每一个样本点e，都有一个实数X(e)与之对应，那么就称X为随机变量。随机变量的定义根据随机变量可能取值的性质，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量的分类随机变量概念及分类

分布律的定义对于离散型随机变量X，其所有可能取的值xi(i=1,2,...)与对应的概率P(X=xi)构成的序列称为X的分布律。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、超几何分布等。离散型随机变量分布律

概率密度函数的定义对于连续型随机变量X，如果存在一个非负可积函数f(x)，使得对于任意实数a,b(ab)，都有P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx，则称f(x)为X的概率密度函数。常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型随机变量概率密度函数

设X是一个随机变量，y=g(x)是一个实函数，那么由X和g可以定义一个新的随机变量Y=g(X)。随机变量函数的分布可以通过原随机变量的分布和函数的性质来求解，常见的求解方法有公式法和卷积法。随机变量函数分布随机变量函数的分布随机变量函数的定义

03多维随机变量及其分布

联合分布函数01对于二维随机变量(X,Y)，其联合分布函数F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方区域内的概率。联合概率密度函数02若二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可微，则存在非负函数f(x,y)，使得F(x,y)等于f(x,y)在对应区域内的二重积分，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数。几种重要的二维随机变量联合分布03二维均匀分布、二维正态分布等。二维随机变量联合分布

二维随机变量(X,Y)中，X或Y自身的概率分布称为边缘分布，可以通过联合分布函数或联合概率密度函数求得。边缘分布在已知二维随机变量(X,Y)中X或Y取值的条件下，另一随机变量的概率分布称为条件分布。条件分布在已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)的条件下，可以求得X或Y的条件概率密度函数。条件概率密度函数边缘分布与条件分布

若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)可以表示为两个边缘概率密度函数的乘积，即f(x,y)=fX(x)fY(y)，则称X与Y相互独立。独立性判断相关系数是衡量二维随机变量(X,Y)之间线性相关程度的一个指标，其计算公式为ρ=Cov(X,Y)/√DX√DY，其中Cov(X,Y)表示X与Y的协方差，DX和DY分别表示X和Y的方差。相关系数计算独立性判断及相关系数计算

多维随机变量函数的分布对于多维随机变量(X1,X2,...,Xn)的函数Z=g(X1,X2,...,Xn)，其分布可以通过多维随机变量的联合分布及函数关系求得。卷积公式对于相互独立的随机变量X和Y，其和Z=X+Y的分布可以通过X和Y的分布函数或概率密度函数利用卷积公式求得。多维随机变量函数的概率密度函数若多维随机变量(X1,X2,...,Xn)的联合概率密度函数为f(x1,x2,...,xn)，则多维随机变量函数Z=g(X1,X2,...,Xn)的概率密度