抛物线的简单几何性质一.ppt

2.3.2 抛物线的几何性质（1） 一次项的变量如果为x（或y）则轴x（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。 例如抛物线x2 =-3y，则y为对称轴，开口方向和y轴的正方向相反。 　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程，并用描点法画出图形。 　思考：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程。 课本例4P61：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 练习2：若直线l 经过抛物线y2=4x的焦点, 与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长. 练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为 谢谢！ * 例1 例1答案2 07.01.05 . F M . 1、抛物线的定义： 我们把平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线. 抛物线 的 焦点坐标是： 准线方程为： 前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么? 准 线 焦 点 方 程 图 形 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 开口方向 准线 焦点 方程 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 P(x,y) 一、抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 1、范围 由抛物线y2 =2px（p0） 而 所以抛物线的范围为 关于x轴 对称 由于点 也满 足 ，故抛物线 (p0)关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 y2 = 2px y2 = 2px 2、对称性 P(x,y) 定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点。 P(x,y) 由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 ３、顶点 4、离心率 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。 5、开口方向 P(x,y) 抛物线y2 =2px（p0）的开口方向向右。 +X，x轴正半轴，向右 -X，x轴负半轴，向左 +y，y轴正半轴，向上 -y，y轴负半轴，向下 补充（1）通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大,开口越开阔 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： （标准方程中2p的几何意义） 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！ （二）归纳：抛物线的几何性质 e 对称轴 顶点 范围 准线 焦点 方程 图 形 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 　　　因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　）， 解： 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上： 所以： 因此所求抛物线标准方程为： （三）、例题讲解： 作图： (1)列表（在第一象限内列表） … … 4 3 2 1 0 y x (2)描点： (3)连线： 1 1 x y O  想一想 这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗？