抛物线的简单几何性质.doc

抛物线的简单几何性质 ? 【自学导引】 1．已知抛物线的标准方程y2＝2px(p＞0)，则抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是 x≥0． 2．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1． 3．在抛物线y2＝2px(p＞0)中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p． ? 【思考导学】 1．椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线．抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线． 2．平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点． ? 【典例剖析】 ［例1］已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，求它的标准方程． 解：∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)， ∴可设它的标准方程为x2＝－2py(p＞0)． 又∵点M在抛物线上，∴()2＝－2p(－2)， 即p＝． 因此所求方程是x2＝－y． 点评：本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程． ［例2］给定抛物线y2＝2x，设A(a，0)，a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜＝d，试求d的最小值． 解：设P(x0，y0)，(x0≥0)， 则y02＝2x0， ∴d＝|PA|＝． ∵a＞0，x0≥0， ∴(1)当0＜a＜1时，1－a＞0， 此时当x0＝0时，d最小＝＝a． (2)当a≥1时，1－a≤0， 此时当x0＝a－1时，d最小＝． 点评：虽然d的目标函数f(x0)是根号下关于x0的二次函数，但由于x0和a都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错． ［例3］已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程． 解法一：设直线上任意点坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)． ∵P1、P2在抛物线上，∴y12＝6x1，y22＝6x2， 两式相减得：(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ① ∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3． ∴直线的方程为y－1＝3(x－4)． 即3x－y－11＝0． 解法二：设所求方程为y－1＝k(x－4)． 由方程组得ky2－6y－24k＋6＝0． 设弦的两端点P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)， 则y1＋y2＝． ∵P1P2的中点为(4，1) ∴＝2，∴k＝3， ∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0． 点评：解法一是求与中点有关问题常用的“作差法”，解法二没有求出P1、P2的坐标，而是运用韦达定理直接写出P1P2中点坐标，这也是解题中常用的方法． ? 【随堂训练】 1．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－2，3)，则它的方程是( ) A．x2＝－y或y2＝x B．y2＝－x或x2＝y C．x2＝y D．y2＝－x 解析：∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴， ∴抛物线的方程为标准形式． 当抛物线的焦点在x轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)， ∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)， ∴32＝－2p(－2)，∴p＝． ∴抛物线的方程为y2＝－x． 当抛物线的焦点在y轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)， ∴设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)． ∴(－2)2＝2p·3，∴p＝． ∴抛物线的方程为x2＝y． 答案：B 2．以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 解析：∵通径长为8，∴2p＝8． ∵抛物线的轴为x轴，∴抛物线的方程为y2＝±8x． 答案：C 3．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则( ) A．通径长为8，△AOB的面积为4 B．通径长为－4，△AOB的面积为2 C．通径长为4，△AOB的面积为4 D．通径长为4，△AOB的面积为2 解析：在抛物线x2＝－4y，∴2p＝4即通径的长为4． △AOB的面积为． 答案：D 4．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( ) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：∵直线y＝kx－k过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部． ∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 答案：C 5．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P的