计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程演示课件.ppt

计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院 * 牛顿迭代法 – 非线性方程 2016/2017 学年 第一学期（16周） 好好的 ? 牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点， 曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作 第二点，依次循环 ? 设方程 有根 ，且 ，如图所示 牛顿迭代法几何含义 x* x0 x1 x2 xk y=g(x) 好好的 牛顿迭代法几何含义 x* x0 x1 x2 xk y=g(x) 好好的 牛顿迭代法 ? 定义：从几何上看， 越来越接近 。由此， 不难归纳出一般迭代公式 以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法） ? 定理： 设 是方程 的一个单根，且 ， 则，牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根 。 好好的 ? 证明：事实上，迭代函数 ，且 当 时，由迭代定理可知，牛顿迭代 法以 2 阶速度收敛于 。 牛顿迭代法 好好的 ? 例：证明以上公式，对于初值 整体收 收敛于 ，且收敛速度是 2 阶的。 牛顿迭代法 ? 定义：对于给定正数 a，应用牛顿迭代法解二次 方程 ，可求 的计算公式 好好的 牛顿迭代法 ? 证明：从牛顿迭代法可得 好好的 牛顿迭代法 ? 证明：反复递推可得 好好的 牛顿迭代法 ? 证明： 好好的 例题 ? 例：给出计算 的牛顿迭代公式，并计算 。 好好的 例题 ? 解：设方程 ，则 ， 代入牛顿迭代公式可得 当 a=3 时，迭代公式为 取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。 0 1.50000000000000 1 1.75000000000000 0.25 2 1.73214285714286 0.01785714285714 3 1.73205081001473 0.00009204712813 4 1.73205080756888 0.00000000244585 5 1.73205080756888 0 好好的 例题 ? 例：设 a0 ，推导用牛顿迭代法计算 1/a 的 公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并 计算 1/6。 好好的 例题 ? 解：设方程 ，则 ， 代入牛顿迭代公式可得 当 a=6 时，牛顿迭代公式为 取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。 0 0.150000 1 0.165000 0.015 2 0.166650 0.00165 3 0.166817 0.000167 4 0.166667 0.00075 5 0.166667 0 好好的 例题 ? 例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。 好好的 计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院 *