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泰勒公式的推导及应用

泰勒公式是一种重要的数学工具，它可以将一个函数在某个点

处展开成一个无限次可导函数的幂级数。这个级数在某些情况下

非常有用，可以用来近似数值计算和研究函数的性质。本文将简

要介绍泰勒公式的推导过程和一些应用。

一、泰勒公式的推导

设$f(x)$在$x=a$处$n$阶可导，则$f(x)$在$x=a$处的$n$阶泰勒

展开式为：

$$f(x)=f(a)+

rac{f^{(1)}(a)}{1!}(x-a)+

rac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-

其中$R_n(x)$为$f(x)$在$x=a$处的$n$阶拉格朗日余项，具体表

达式为：

其中介于$x$和$a$之间。

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二、泰勒公式的应用

1.求函数的近似值

泰勒公式可以用来近似计算函数的值，特别是在求解复杂问题

时非常有用。例如，如果我们需要计算的值，可以使用泰

勒公式展开：

当$x=0.1$时，忽略高阶项，得到：

这个值与真实值$0.09983341666$非常接近。

2.求函数的导数

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泰勒公式可以用来求函数的导数，尤其是对于某些复杂的函数，

可以通过泰勒公式求导简化计算过程。例如，对于，

我们可以使用泰勒公式展开：

对该式两边求导，得到：

这个式子可以用来计算的值，也可以用来求导。

3.研究函数的性质

泰勒公式可以用来研究函数的性质，例如可导性、连续性、凸

性等。通过分析泰勒公式及其余项的形式，我们可以得到关于函

数在某个点处的性质。例如，如果一个函数的泰勒展开式中余项

满足$R_n(x)=O(x^{n+1})$，则该函数在该点处至少$n$阶可导。

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总之，泰勒公式是一种非常重要的数学工具，具有广泛的应用。

我们可以用它来近似计算函数的值，求函数的导数，研究函数的

性质等等。在实际问题中，泰勒公式往往是解决复杂问题的关键

步骤。

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