第三章　扭转.ppt

非圆杆两种类型的扭转 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加正应力产生 此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有附加正应力产生 1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束不能自由翘曲时 ——约束扭转 Ⅱ、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 一般矩形截面等直杆 t≤tp时 1、 tmax发生在横截面的长边中点处； 2、横截面周边各点的切应力必定与周边相切，沿周边形成与扭矩同向的顺流； 3、四个角点处t =0 。 思考： 存在第二、第三条规律的原因是什么？ 矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式 最大切应力（长边中点处） 短边中点处的切应力 单位长度扭转角： 相当极惯性矩 扭转截面系数 其中 a、b、n ——与 相关的因数 狭长矩形截面杆自由扭转 特点： 1、沿长边各点的切应力值除靠角点附近外，均接近相等； 2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚度d 按直线规律变化。 本章主要研究圆轴受扭转时，其内力、应力、变形的分析方法及强度和刚度的计算。 1．通过对受扭薄壁圆筒的分析引入： ·纯剪切单元体和剪应力及剪应力互等定理； ·剪应变和剪切胡克定律 它们是研究圆轴扭转时应力和变形的理论基础，也是材料力学中重要的基本概念和基本规律。 2．在平面假设下，利用上述基本概念和规律得到圆轴扭转： 变形公式 剪应力公式 本章小结 刚度条件 强度条件 2. 物理关系： 虎克定律： 代入上式得： 表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图 O dA ? 令 3. 静力学关系： 代入物理关系式 得： —横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 矩形截面杆扭转 翘曲 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ? —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。 对于实心圆截面： d D O ? d? 对于空心圆截面： ④ 应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 ⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 练习 三、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： ([?] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： [例3] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 [?]=30M Pa, 试校核其强度。 T m 解：①求扭矩及扭矩图 ②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。 D3 =135 D2=75 D1=70 A B C m m x [例4] 设有一实心圆轴与一内外径比为3/4的空心圆轴，两轴材料及长度都相同。承受转矩均为m，已知两轴的最大剪应力相等，试比较两轴的重量。 解.（ 1 ）实心轴直径 d与空心轴外径D之间的关系 （2）两轴的重量比 即空心轴的重量仅为实心轴重量的56.4%。 由于两轴得扭矩和最大剪应力分别相等，故得 1．在本题条件下，横截面面积之比即重量之比。单从力学角度，空心轴要比实心轴更有效地利用材料。 2．从横截面上的剪应力分布分析，由于扭转剪应力与离 圆心的距离成正比，故把靠近圆心处承受剪应力较小的材料移到轴的外缘处，就能充分利用材料的强度，从而节省了原材料。 3．在工程实际中，空心轴是用实心圆通过钻孔得到的，因此，除非减轻重量为主要考虑因素（如飞机中的各种轴），或有使用要求（如机床主轴）要采用空心轴，否则，制造空心轴并不总是值得的。 讨论 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 二、单位扭转角? ： 或 三、刚度条件 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 [? ]称为许用单位扭转角。 刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。 [例5] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率