函数的性质与带有绝对值的函数(教师)要点讲解.doc

函数的性质与带有绝对值的函数 一、复习要点 基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法. 基础训练 1．(1)若f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1＋，则f(x)?＝ ． （2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)?0，则f(x)＜0的x的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）(－2，2)，若当时恒有,则函数 的递减区间是 . 【答案】. 3．（1）若函数y＝log2(x＋2)的图象与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)= ． （2）已知f(x)＝log2|ax＋3|关于x＝1对称，则实数a＝ ． 【答案】（1）log2(4－x)；（2）－3或0． 4.已知函数，若且，则的取值范围是 . 【答案】. 5.在上为增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】. 6.关于的方程的实数解的个数为 . 【答案】1个. 7.有4个根，则实数的取值范围是 . 【答案】. 8.若不等式a＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】. 典型例题 例1已知函数（其中是实数常数，） 若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值； 若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围； 若，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围。 【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；然后等价转化. 【解答】(1)，．类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．又函数的图像的对称中心是， ，. 证明：函数，,而，所以，即也在上.所以函数图像关于（-1，3）对称. (2)由(1)知，．依据题意，对任意，恒有． 　若，则，符合题意． 　若，当时，对任意，恒有，不符合题意． 　　所以，函数在上是单调递减函数，且满足． 因此，当且仅当，即时符合题意． 　[来源:学。科。网Z。X。X。K] 综上，所求实数的范围是． (3)依据题设，有解得 于是，． 　由，解得． 　因此，．考察函数，可知该函数在是增函数，故．所以，所求负实数的取值范围是．　 例2已知函数，且，． （1）求、的值； （2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论. 【解答】（1）由，得， 解得：． 由（1），所以，令，， 则 因为，所以，所以，当，所以，即的最小值是，此时，，点的坐标是。 （3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，或． 法一：在或下，问题化为对恒成立， 即对恒成立，即对恒成立， ①当时，或， ②当时，且对恒成立， 对于对恒成立，等价于， 令，，则，，，递增， ，，结合或， 对于对恒成立，等价于 令，，则，，，递减， ，，， 综上：。 法二：问题即为对恒成立，也就是对恒成立， 要使问题有意义，或．故问题转化为对恒成立， 令 ①若时，由于，故， 在时单调递增，依题意，，舍去； ②若，由于，故， 考虑到，再分两种情形： （ⅰ），即，的最大值是，依题意，即，； （ⅱ），即，在时单调递增，故，，，舍去。 综上可得，。 【反思】恰当地转化是解决本题的关键，另外本题也是含参问题，涉及到分类讨论思想的运用. 例题3已知. （1）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值； （2）若在R上恒为增函数，试求的取值范围. 【分析】(1)是一个具体清晰的函数，讨论去掉绝对值就可以了，（2）必须结合图像进行分析. 【解答】（1）当时， . (ⅰ)时，， 当时，；当时，. (ⅱ)当时， 当时，；当时， . 综上所述，当或4时，；当时， . （2）， 在上恒为增函数的充要条件是，解得 . 【反思】对于既有自变量又有参变量的问题，应该充分利用数形结合思想进行分析. 例2 已知函数，. 若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求函数在区间[-2,2]上的最大值. 【分析】本题是含有绝对值的二次型函数，涉及最