弹性力学-2课件.ppt

§2-7 弹性力学边值问题 1. 弹性力学平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） （3）物理方程： （2-15） 未知量数： 8个 方程数： 8个 结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。 2. 边界条件及其分类 边界条件： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 x y O q P 是力学计算模型建立的重要环节。 边界分类 （1）位移边界 （2）应力边界 （3）混合边界 —— 三类边界 （1）位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： （2-17） —— 平面问题的位移边界条件 说明： 称为固定位移边界。 x y O q P （2）应力边界条件 给定面力分量 边界 —— 应力边界 x y O dx dy ds P A B px py N 由前面斜面的应力分析，得 式中取： 得到： （2-18） 式中： l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如： —— 平面问题的应力边界条件 垂直 x 轴的边界： 垂直 y 轴的边界： 例1 如图所示，试写出其边界条件。 x y a h h q (1) (2) (3) (4) 说明： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果： 第二章内容回顾： 1. 两类平面问题： 平面应力问题 平面应变问题 几何特征; 受力特征; 应力特征。 几何特征; 受力特征; 应变特征。 x y y z t b a 水坝 滚柱 ——位移边界条件 2. 平面问题的基本方程： （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） （3）物理方程： （2-15） （4）边界条件： （1） （2） ——应力边界条件 ——平面应力问题 例2 如图所示，试写出其边界条件。 (1) A B C x y h p(x) p0 l AB段（y = 0）： 代入边界条件公式，有 (2) BC段（x = l）： (3) AC段（y =x tan β）: N 例3 图示水坝，试写出其边界条件。 左侧面： 由应力边界条件公式，有 右侧面： 例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。 解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即 AB 边界： 由应力边界条件公式，有 （1） AC 边界： 代入应力边界条件公式，有 （2） ∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴满足式（1）和（2），解得 ∴ A 点处无应力作用 例5 图示楔形体，试写出其边界条件。 图示构件，试写出其边界条件。 例6 例5 图示楔形体，试写出其边界条件。 上侧： 下侧： 图示构件，试写出其应力边界条件。 例6 上侧： 下侧： N （3）混合边界条件 (1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如： 图(a)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 图(b)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 平面问题的基本方程 1. 平衡微分方程 （2-2） 2. 几何方程 （2-8） 3. 物理方程 （平面应力问题） （2-12） 4. 边界条件 位移： （2-14） 应力： （2-15） §2-8 圣维南原理 问题的提出： P P P 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。 1. 静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。 2.圣维南原理 (Saint-Venant Principle) 原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P P P/2 P/2 3.圣维南原理的应用 (1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。 注意事项： (1) 必须满足静力等效条件； (2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。 如： A B 主要边界 P 次要边界 例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 左侧面： 代入应力边界条件公式 右侧面： 代入应力