用十字相乘法分解因式.doc

用十字相乘法分解因式 1．型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此， 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例1】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) ． (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例2】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例3】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数． (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式． 解：(1) (2) 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例4】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 练习1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得 ＝ （4）＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． －ay －by x x 图1－4 －2 6 1 1 图1－3 －1 －2 1 1 图1－2 －1 －2 x x 图1－1 －1 1 x y 图1－5