秒杀导数二阶求导下篇.pptx
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3.4隐函数的求导及高阶导数
3.4.1隐函数的导数定义所确定的函数称为隐函数.的形式称为显函数.开普勒方程的隐函数客观存在,但无法将y表达成x的显式表达式.
例解将方程两边同时对x求导,得求导时要用复合函数求导法,注意：x是自变量，y是x的函数
01例02解03将方程两边对x求导,得04解出05得
例解切线方程法线方程通过原点.
作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍对数求导法，它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导法求出导数.3.4.2对数求导法
例解等式两边取对数得隐函数
例解等式两边取对数得
例两边取对数两边对x求导解
练习解
解
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由方程所确定的隐函数y的导数二：求下列函数的导数:三：设函数为了使函数在处连续且可导，应取什么值？设可导，求下列函数的导数第三节隐函数的求导与
取对数求导法01定义:02隐函数的显化03问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?04隐函数求导法则:05用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一、隐函数的导数例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解二、对数求导法观察函数01方法:02-------对数求导法03适用范围:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.04等式两边取对数得例4解等式两边取对数得例5解一般地由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参
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四、隐函数旳导数对数求导法
由参数方程所拟定函数旳导数隐函数旳导数对数求导法由参数方程所拟定函数旳导数
1、隐函数旳导数P78定义:隐函数旳显化问题:隐函数不易显化或不能显化怎样求导?
例11)解解得隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
2)设y=y(x)由方程ey=xef(y)拟定,f二阶可导,f??1,求y?.解方程两边对x求导:eyy?=ef(y)+xef(y)f?(y)y?故
3)函数y=y(x)由方程所拟定,求解：
例2解所求切线方程为显然经过原点.
例3解
2、对数求导法观察函数措施:先在方程两边取对数,然后利用隐函数旳求导措施求出导数.--------对数求导法
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第二章、4【课题】12隐函数求导、高阶导数【本课重点】1、隐函数的求导法2、反函数的导数【本课难点】隐函数的求导法【复习旧课】三、隐函数的导数例9求方程所确定的函数的导数方程两端对x求导得解：隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。即例2-25(P47)求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得解(1)例11两边对x求导，由链导法有解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：解(2)解：将函数取自然对数得两边对x求导得例12四、反函数的求导法则例13
求函数的导数解：同理例14求函数的导
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基本初等函数的导数公式4、导数的几何意义与物理意义*1.几何意义切线方程为法线方程为例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为2.物理意义*非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.STEP3STEP2STEP1可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证连续函数不存在导数举例0例如,注意:该定理的逆定理不成立.★例如,例如,011/π－1/π例9*解上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页*主要内容：第二章导
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2.2基本初等函数导数公式;2.2基本初等函数求导公式;1利用上述求导步骤可得一些基本;01例02解03即三、三角;例解四、指数函数的导数公式;例解即五、对数函数的导数公式;六、反三角函数的导数公式;2.3和、差、积、商求导法则;证（1）：;和（差）的导数等于两个函数的导;证（2）：;无标题;因此函数在点;2积导数时，常数因子可以提到求;积的求导法则也可推广到有限个函;01例102解;例2解;证(3);010204之商的导数等于分子;例3解例4解Q1Q2Q3Q4例;例5解同理可得;例6解同理可得;例7解;小结01注意:02分段函数;幂函数的导数公式三角函数的导数;对数函数的导数公式01反三角函
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导数的四则运算法则公式：函数和差的导数等于函数导数的和差。即：例：求下列函数的导数：两函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。即：例：求的导数2.2导数的求导法则
3、常数因子可以提到导数记号外。即：例：求的导数例：求推广：例：求的导数。
两函数商的导数等于分子的导数乘分母减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方。即：例例：求下列函数的导数：特别地：，求及
练习：求下列函数的导数：公式：
二、反函数的导数等于直接函数导数的倒数。设函数在某区间Iy内单调、可导且则其反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，且0102
复合函数的导数，等于函数对中间变量的导
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自变量的变化引起函数值的变化，两个基本问题：
1.函数随自变量变化的变化速度（比率）问题，
即函数对自变量的变化率问题。
2.自变量的微小变化导致函数变化多少的问题。
此为导数与微分的问题，本章的两个基本问题
第一节导数的概念
1导数的定义
(1).切线问题:求曲线yf在(x点)(x0处,y的0)
切线
所谓曲线在其上点处的切线是指当上
LM0,L
另一点沿曲线趋向点时割线
MLM,0
的极限
MM0M
位置y
M0TT
y
M0
f(x)
0x
ox0x0xx
yfxxfx
K00
xx
yfxxfx
Klimlim00
x0xx
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内容要点导数的四则运算法则应用举例——作为变化率的导数.反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.复合函数的求导法则初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则第二节函数的求导法则
2.2函数的求导法则1.基本求导法则与导数公式2.分段函数求导时，分界点导数用左右导数定义求.3.初等函数的求导问题4.双曲函数与反双曲函数的导数
一、和、差、积、商的求导法则定理1若函数在点处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)并且(1)(2)(3)证(1)、(2)略.在点处也可导,
证(3)设
推论
注:法则(1)、(2)均可推广到有限多个函数运算的情形.例
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第三节 一、高阶导数的概念 定义. 例1. 例2.设 例4.设 二、高阶导数的运算法则 例7. 例8. 设 小结 练习 2. 试从 第四节 一、隐函数的导数 例1. 求由方程 例2. 求椭圆 例3. 求 说明: 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 又如, 二、由参数方程确定的函数的导数 若上述参数方程中 例4. 设 例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 抛射体轨迹的参数方程 例6. 设由方程 三、相关变化率 例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 小结 练习 2. 设 3. 设 作业习题2
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7第2章导数与微分-求导法则1要点.ppt
高 等 数 学 主讲人：梅 挺 第2章 导数与微分 第2节 求导法则 关于导数定义各种形式的应用： 一、函数四则运算的求导法则 2、复合函数的求导法则 3、反函数的求导法则 同理可得： 课后作业 1）作业：课本第43页练习2-2： 1，2 2）预习：第2章第2节求导法则剩下 的内容 * 主要内容： 一、函数四则运算的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数求导法则 处可导， 定理2.1 设函数 都在 即具有导数 和 ，则有 （C为常数）； 定理2.1的1）、2）可以推广到有限多
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导数求导练习题.doc
同步练习
1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于
A．sinα B．cosα
C．sinα+cosα D．2sinα
2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于
A． B．
C． D．
3．函数y=sinx的导数为
A．y′=2sinx+cosx B．y′=+cosx
C．y′=+cosx D．y′=－cosx
4．函数y=x2cosx的导数为
A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=x2cosx－2xsinx D
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导数的四则运算法则 (复合函数求导法则 ) * * 如下函数由多少个函数复合而成： 例1．求下列函数的导数 （1） 解：（1）y=(2x+3)5， 令u=2x+3，则y=u5， 所以 =25(5x+3)4 （2） 解：（2）y=ln(x2+1) 令u=x2+1，则y=lnu， 所以y’= ·(2x) （3） 解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 . （4） 解：令u=2x+ 则y=sinu 练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ ） （A）y’＝3(5x－4)2 （B）y
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导数之一：导数求导与切线方程.docx
本章节知识提要?
考试要求1、导数概念及其几何意义(1）了解导数概念得实际背景;(2)理解导数得几何意义、
2、导数得运算
(１)能根据导数定义,求函数y=c(c为常数)，ｙ=x,y＝x2,y＝x3,y=,y=得导数;
(2)能利用基本初等函数得导数公式和导数得四则运算法则求简单函数得导数,能求简单得复合函数(仅限于形如f(ａx＋b)得复合函数）得导数、
3、导数在研究函数中得应用
（1)了解函数单调性和导数得关系,能利用导数研究函数得单调性，会求函数得单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);
(2)了解函数在某点取得极值得必要条件和充分条件;会用导数求函数得极大值、极小值(其中多项式函数一