导数及其应用课件.ppt

(理)(江苏启东质检)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为 由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米) 故知一年内该水库最大蓄水量是108.32亿立方米. [例5]　求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积． [分析]　画出函数图像，求出交点坐标，用积分求解． [解析]　作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图像，所求面积为图中阴影部分的面积． [评析]　利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③确定积分的上、下限，并求出交点坐标；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． (2011·山东青岛)由直线x－y－2＝0与抛物线y2＝x围成的图形的面积为________． [例2]　(文)(2011·北京文，18)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． [分析]　依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值． [解析]　(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)随x的变化情况如下： 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)； 单调递增区间是(k－1，＋∞)， x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －ex－1  (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0k－11，即1k2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. [评析]　本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力． [分析]　本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性． (1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数的单调区间(注意参数k的取值对单调区间的影响)．(2)问把不等式恒成立求参数的范围问题，转化为求函数f(x)的区间(0，＋∞)上的最值，注意对k分k0，k0两种情况进行分类讨论． x (－∞，－k) －k (－k，k) k (k，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  4k2e－1  0  所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)． 当k0时，f(x)与f′(x)的情况如下： 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)． x (－∞，k) k (k，－k) －k (－k，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  0  4k2e－1  [评析]　讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制． (2011·南京二模)已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方． [解析]　(1)由已知f ′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2时，对x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0， 又a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0. (2)由f ′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1x1，∴3x23，∴只需a≥3. 当a＝3时，f ′(x)＝3(x2－1)． 在x∈(－1,1)上，f ′(x)0， 即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减． (3)∵f(－1)＝a－2a， ∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a上方． (2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，