上海市建平世纪中学2024-2025学年高三下学期阶段测试一（第一次月考）数学试卷.docx
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上海市建平世纪中学2024-2025学年高三下学期阶段测试一（第一次月考）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，，则.
2．若，则．
3．若复数满足（其中是虚数单位），则.
4．已知随机变量服从正态分布，且，则．
5．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为．
6．记为等差数列的前n项和，若，，则.
7．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为．
8．已知函数则不等式的解集是．
9．在（）的二项式展开式中的系数为2880，则.
10．已知号箱中有个白球和个红球、号箱中有个白球和个红球，现随机从号箱中取出一球放入号箱，然后从号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是.
11．在中，过中线的中点作一条直线分别交于两点，若，，则的最小值为.
12．若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是．
二、单选题
13．已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（????）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
14．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的线性回归方程只可能是()
A．y＝0.575x－14.9 B．y＝0.572x－13.9
C．y＝0.575x－12.9 D．y＝0.572x－14.9
15．已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（????）
A． B． C． D．
16．设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质：①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是（????）
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
三、解答题
17．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为.
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成的角.
18．已知，．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）在中，角所对的边分别是，若，，且面积为，求．
19．2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a，并估计参与调查者的平均年龄；
(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年
中老年
10
合计
200
(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
20．椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线AB的斜率为2时，求AB的长度；
(3)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围.
21．已知实数，设.
(1)若，求函数，的图象在点处的切线方程；
(2)若，求函数，的值域；
(3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.
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《上海市建平世纪中学2024-2025学年高三下学期阶段测试一（第一次月考）数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
C
A
B
B
1．
【分析】化简两个集合，即可利用交集的定义求解.
【详解】由可得，
可得，
故，
故答案为：