上海市华东师范大学附属东昌中学高三下学期第一次阶段性测试 数学试卷（含解析）.docx
上海市华东师范大学附属东昌中学高三下数学第一次阶段性测试数学试卷
一、填空题（本大题共12小题）
1．已知集合，则.
2．函数的定义域为．
3．若是关于的实系数方程的一个复数根，则.
4．在的展开式中，的系数为（用数字作答）．
5．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为.
6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为.
7．已知函数，则．
8．已知函数，若，，且，则的最小值是
9．在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积.如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式——体心立方堆积，该堆积方式是以正方体8个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切.晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为.
10．已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则.
11．定义在R上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是．
12．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是.
二、单选题（本大题共4小题）
13．设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（????）条件.
A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
14．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或4点”，则事件A与事件B的关系为（????）
A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
15．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
16．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共5小题）
17．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离．
18．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
19．向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.
Sora的应用情况
视频从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
18
72
没有应用
36
42
78
合计
90
60
150
???
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
(1)根据所给数据，判断是否有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？
（附：，其中.）
(2)某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora.
（i）求员工经过培训能应用Sora的概率；
（ii）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
20．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；
(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．
21．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重