《高等数学 》课件_第6章.ppt

6.5用MATLAB解微分方程

用MATLAB求解微分方程的基本操作命令参见表6-2.说明：用Dy表示y′,D2y表示y″.表6-2 *6.3二阶常系数线性微分方程

形如y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(6-9)的方程称为二阶线性微分方程.如果f(x)≡0,方程式(6-9)称为齐次的；如果f(x)≡0,方程式(6-9)称为非齐次的.设方程式(6-9)为非齐次线性方程，则它对应的齐次线性方程为y″+P(x)y′+Q(x)y=0在力学中，物体在有阻力情况下的自由振动微分方程和强迫振动微分方程，以及电学中串联电路的振动方程都是二阶线性微分方程.6.3.1二阶线性微分方程解的结构

定理6.1(齐次线性方程解的结构)如果函数y1、y2是二阶齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的两个解，那么y=C1y1+C2y2(6-11)也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数.如果y1与y2之比不为常数(即≠k,k为常数),则y=C1y1+C2y2是该方程的通解.定理6.2(非齐次线性方程解的结构)设y是二阶非齐次线性微分方程6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程

设p、q为常数，形如

y″+py′+qy=f(x)(6-14)

的方程称为二阶常系数线性微分方程.如果f(x)≡0,方程

y″+py′+qy=0(6-15)

称为二阶常系数齐次线性微分方程；如果f(x)≡0,方程式(6-14)称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

由齐次线性微分方程解的结构知道.求齐次线性微分方程式(6-15)的解，只需求出它的两个比值不为常数的解即可.

由指数函数导数的特性，我们可以猜想方程式(6-15)具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.将y′=rerx、y″=r2erx及y=erx代入方程

y″+py′+qy=0,得

erx(r2+pr+q)=0由于erx≠0,因此只要r满足方程

r2+pr+q=0 (6-16)

即可.也就是说，当r是一元二次方程式(6-16)的根时，y=erx就是齐次线性微分方程的解.因此方程r2+pr+q=0称为微分方程y″+py′+qy=0的特征方程，特征方程的根称为特征根.

方程y″+py′+qy=0的特征方程r2+pr+q=0的特征根有三种情形，下面就其不同情形讨论对应的齐次方程的通解.(3)当特征方程具有一对共轭复根时，即r1,2=α±iβ(α,β为实数，β≠0),方程有两个复数特解y1=e(α+iβ)x与y2=e(α-iβ)x,它们之比不为常数.为了便于在实数范围内讨论，由欧拉公式eix=cosx+isinx可得y1=eax(cosβx+isinβx)y2=eax(cosβx-isinβx)于是有由定理6.1知，函数eaxcosβx与eaxsinβx均为方程式(6-15)的解，且它们之比不为常数.因此，方程的通解为y=eax(C1cosβx+C2sinβx)综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解步骤如下：(1)写出对应的特征方程r2+pr+q=0(2)求出特征根r1和r2；(3)根据r1和r2的三种不同情况，写出对应的通解.表6-1给出了三种不同特征根对应的方程的通解.

表6-1 6.4微分方程的应用实例

实例6-1(环境污染问题)某水塘原有50000t清水(不含有害杂质).从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘.流入的速度为2t/min,在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘.问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?

解设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t),此时塘中有害物质的浓度为,于是有

=单位时间内有害物质的变化量

=(单位时间内流进塘内有害物质的量)-(单位时间内流出塘的有害物质的量)即实例6-2(刑事侦察中死亡时间的鉴定)牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气

温度之差成正比.现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定.当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃

按照牛顿冷却定律开始下降，如果2h后尸体温度变为35℃,并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度

H随时间t的