2.1.9函数的奇偶性.ppt

奇偶函数的图象及应用 利用函数的奇偶性求解析式 数学必修一第二章 函数 必修一 函数 2.1.3 函数的奇偶性2 问题探究 引入概念 1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？ 2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有何特征？ 3.函数的奇偶性有那些基本性质？ 4.是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？ 5.一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？ 6.若f(x)是定义在R上的奇函数,那么f(0)的值如何？ 2.奇偶函数图象的性质: ⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数. 注：奇偶函数图象的性质可用于： ①判断函数的奇偶性。 ②简化函数图象的画法。 o y x 例1 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 解：画法略 变式 已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 练习1. 说出下列函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 ①f(x)=x4________ ④f(x)=x -1 __________ ②f(x)=x________ 奇函数 ⑤f(x)=x -2 __________ 偶函数 ③ f(x)=x5_______ ⑥f(x)=x-3 __________ 结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。 【思考 】二次函数 是偶函数的条件是什么？  一次函数 是奇函数的条件是什么？ b=0 【例2】 必修一 函数 2.1.3 函数的奇偶性2 任意 f(－x)＝f(x) 奇函数 奇函数 偶函数 y轴 原点 解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又 f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且 f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x0时，－x0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x0时，－x0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 要点二　利用函数奇偶性研究函数的图象 例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y 0 的x 的取值集合为________． 答案　(－2,0)∪(2,5) 解析:因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 规律方法: 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)． 【跟踪演练 1】设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________． 【跟踪演练 2】已知f(x)是定义在R上的奇函数，在(0,+∞)上为减函数,f(1)=0, 求f(x)0的解集. 跟踪演练 2　设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当 x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________． 答案: {x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5} 解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5， 所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2. ∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5. 【例3】已知f(x)是定义在R上奇函数