微分中值定理教学PPT课件.ppt

对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ. 综合之，本例应单选Ｃ. * * * 第一节 微分中值定理 一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 一、引理 引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 . 证 若对x0的某邻域内的任何x,恒有f(x)≤f(x0). 当△x0时,必有 当△x0时,必有 由于f(x)在x0处可导,可知 由极限的性质进一部可知 从而必有 通常称使 的点x0为f(x)的驻点. 上述引理又称费马(Fermat)定理. 二、罗尔定理 定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b), 注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立. 证 如果f(x)在[a,b]上恒为常数,则对于任意的 都有 如果f(x)在[a,b]上不是常数,由于f(x)在[a,b]上连续,可知必能取得最大值M与最小值m,且M≠m. 可知M,m之中至少有一个与f(a)=f(b)不等.不妨设 即f(x)在(a,b)内的某点ξ处取得最大值.由费马定理可知必有 罗尔定理几何意义： 若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴. 例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 使 . 又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 . 再如 f(x) 在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在 还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立. 例如 在[0,3]上不满足罗尔定理的条件 但是存在 ，使 . 三、拉格朗日中值定理 定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； 则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决. 拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 作辅助函数 即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差. 弦线的方程为 证 令 由于f(x)在[a,b]上连续，因此 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导. 又由于 因此 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即 从而有 ，或表示为 上述结论对ba也成立. 如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理. 其中 为之间的点.也可以记为 或 推论1 若