【创新设计】2015高考数学(苏教文)一轮配套文档:第5篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算( 2014高考).doc
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第1讲 平面向量的概念及其线性运算
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量;其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算
向量
运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律:
a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
续表
减法 求a与b的
相反向量
-b的和的
运算叫做
a与b的差
三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb 3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
辨 析 感 悟
1.对共线向量的理解
(1)若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同.(×)
(2)若ab,bc,则ac.(×)
(3)(2013·郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=-.(√)
2.对向量线性运算的应用
(4)A+B+C=A.(√)
(5)(教材习题改编)在ABC中,D是BC的中点,则A=(A+A).(√)
[]
1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点可以不同,而后者必须在同一直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上.
2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反;如(1);二是注重零向量的特殊性,如(2).
考点一 平面向量的有关概念
【例1】 给出下列命题:
若|a|=|b|,则a=b;若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若a=b,b=c,则a=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且ab.
其中真命题的序号是________.
解析 不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
正确.=,
||=||且,
又A,B,C,D是不共线的四点,
四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则且||=||,因此,=.
正确.a=b,a,b的长度相等且方向相同;
又b=c,b,c的长度相等且方向相同,
a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且ab不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是.
答案
规律方法 对于向量的概念应注意以下几条:
(1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;
(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;
(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.
【训练1】 设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的序号是________.
解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.
答案
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)(2013·四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点+=λ,则λ=________.
(2)(2013·泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么=________ .
解析 (1)+==2,λ=2.
(2)++==-,
=-2=2.
答案 (1)2 (2)2
规律方法 (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.
【训练2】 如图,
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