【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第5篇 第1讲　平面向量的概念及其线性运算（ 2014高考）.doc

第1讲　平面向量的概念及其线性运算 知 识 梳 理 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 续表 减法 求a与b的 相反向量 －b的和的 运算叫做 a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 辨 析 感 悟 1．对共线向量的理解 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(×) (2)若ab，bc，则ac.(×) (3)(2013·郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－.(√) 2．对向量线性运算的应用 (4)A＋B＋C＝A.(√) (5)(教材习题改编)在ABC中，D是BC的中点，则A＝(A＋A)．(√) [] 1．一个区别　两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上． 2．两个防范　一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2). 考点一　平面向量的有关概念 【例1】 给出下列命题： 若|a|＝|b|，则a＝b；若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a＝b，b＝c，则a＝c；a＝b的充要条件是|a|＝|b|且ab. 其中真命题的序号是________． 解析　不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． 正确．＝， ||＝||且， 又A，B，C，D是不共线的四点， 四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且||＝||，因此，＝. 正确．a＝b，a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，b，c的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 不正确．当ab且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且ab不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是. 答案　 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条： (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示； (2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量； (3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 【训练1】 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；若a与a0平行，则a＝|a|a0；若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的序号是________． 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故也是假命题． 答案　 考点二　平面向量的线性运算 【例2】 (1)(2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点＋＝λ，则λ＝________. (2)(2013·泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么＝________ . 解析　(1)＋＝＝2，λ＝2. (2)＋＋＝＝－， ＝－2＝2. 答案　(1)2　(2)2 规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 【训练2】 如图，