流体流动微分方程分析.ppt

* 根据这些初始条件和边界条件，我们可对 基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到 符合实际流动的求解结果。 但实际上，只有极少数的问题可求出理论 解，通常采用数值解法。 * 例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向的压强降已知，求: （1）两板固定不动; （2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动； 两板间流体运动的速度分布。 流向 y x b * 解：由于流体水平运动，则有 由于流动是一维的，有vy=vz=0； 由于流动是定常的，有 * 水平流动、一维、稳态流动 * 所以N-S方程可简化为 由连续方程可得 * 将式(3)代入式(1)得 思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？ 对上式进行两次积分可得 * 下面根据两种情况下的不同边界条件来确定常数C1，C2。 （1）两板固定不动 这时的边界条件为 代入式(5)可得 * 于是得速度分布 (2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为 * 代入式(5)可得 于是得速度分布 * 流体流动微分方程分析 基本内容： 掌握连续性方程及其推导※ 熟悉Navier-Stokes方程 了解Euler方程 * 控制体分析 优点在于对定常流动，当已知控制面上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情况，给一些工程问题的求解带来方便。 缺点不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。 * 流体流动微分方程包括: 连续性方程 运动方程 连续性方程是流体质量守恒的数学描述。 运动方程是流体动量守恒的数学描述。 二者都是基于流场中的点建立的微分方程。 * 6.1 ★连续性方程 z y x ρvz ρvy ρvx 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。现取微元体如图。 * 输出微元体的质量流量为： 输入微元体的质量流量： z y x ρvz ρvy ρvx * 则输出与输入之差为： 微元体内质量变化率为： * 根据质量守恒原理有： 或 该式即为直角坐标系下的连续性方程。 该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。 * 对不可压缩流体，ρ=常数，有?ρ/?t=0，则连续性方程为 不可压缩流体的连续性方程形式简单，应用广泛。很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理。 * 在直角坐标系中可表示为 对平面流动 (柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) * 例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向的速度分量为 试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。 * 解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程 由已知条件得 积分得 vy=y2-y-x * 根据边界条件x=0时vx=0代入上式得 故有 所以 * 例题：不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求 A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。 * 解：由连续方程可知 则有 又由于流动无旋，则有 则有 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 * 练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分速度为 求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时，vz=2y。 * 6.2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法 向应力和切向应力如图所示。 * z y x σxx ?xy ?xz σyy ?yx ?yz ?zy σzz ?zx fx fz fy ??xy ?xy+ ?x dx ??xz ?xz+ ?x dx ?σxx σxx+ ?x dx ??zy ?zy+ ?z dz ??zx ?zx+ ?z dz ?σzz σzz+ ?z dz dz dy dx ??yx ?yx+ ?y dy ??yz ?yz+ ?y dy ?σyy σyy+ ?y dy * 对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴方向的运动微分方程为 * 化简后得 同理得 ——以应力表示的运动方程 * 将切应力和法向应力的关系式 代入上式的第一式并整理得： * 同理得 ——不可压缩粘性流体的运动微分方程，也叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。 其中 * 法国工程师和物理学家。特别对力学 理论有很大贡献。流体力学中的纳维尔.斯 托克斯（Navier-Stokes）方程