第六章-特征值.ppt
引例(1)求矩阵的特征值;(2)求实对称矩阵的特征值与特征向量.解(1)矩阵A的特征方程故矩阵A的特征值为(2)矩阵B的特征方程故矩阵B的特征值为对应的特征向量为定理1实对称矩阵的特征值都是实数.定理2设A为n阶实对称矩阵,?是A的特征方程的r重根,则矩阵的秩=n-r,从而对应于特征值?恰有r个线性无关的特征向量.定理3实对称矩阵的互异的特征值所对应的特征向量是正交的.定理4设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使,其中?是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.定理2实对称矩阵的互异的特征值所对应的特征向量是正交的.证明设是A的两个不同的特征值,是对应的特征向量,则因为A对称,故有于是即由于,故,即正交.6.3.2实对称矩阵的对角化定理6.3.4设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使,其中?是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.证明设A的互不相等的特征值为,它们的重数依次为,且根据定理6.3.1及定理6.3.3,对应特征值?i(i=1,2,…,s),恰有ri个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri个单位正交的特征向量.由,知这样的特征向量共有n个.由定理6.3.2知,对应于不同特征值的特征向量正交,故这n个单位特征向量两两正交,且是线性无关的.由定理6.2.1知,A可以对角化.于是以这n个单位特征向量为列向量构成正交矩阵P,有其中对角矩阵?的对角元素含r1个?1,r2个?2,…,rs个?s,恰是A的n个特征值.定理6.3.1实对称矩阵的特征值都是实数.证明设复数?为实对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,即,,用表示?的共轭复数,表示x的共轭复向量,则于是有两式相减,得但因,所以故只有,即,这就说明?是实数.6.4.3部分例题的MATLAB求解解:A=[460;-3-50;-3-61];[X,D]=eig(A)%产生一个方阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X,它们的列是相应的特征向量,满足AX=XD.解得:X=0780/1351-2584/28890-780/13511292/28891-780/13510D=1000-20001例6.1.2求矩阵的特征值与特征向量.点击按钮回复到原来位置:按钮解:A=[400;031;013];B=orth(A)解得:B=01.0000000000000000-0.7071067811865480-0.707106781186547-0.70710678118654700.707106781186547例6.3.1设,求一个正交矩阵P,使为对角矩阵.点击按钮恢复到原来位置:按钮