13 第六章特征线法.PDF

第六章 特征线法 ★ 一阶PDE的特征线法 ★ 一维波动方程的特征线法 Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的近似方 法。它产生较早，19世纪末已经有效地为人们所用。电子计 算机出现以后，又得到了进一步的发展，在一维不定常流和 二维定常流等问题中得到了广泛应用。 特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使 其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 求解非线性方程的一种有效方法。 一阶方程：沿特征线约化为常微定解问题 特征线 方法 二阶方程：利用特征线化简为可求解的形式， 类似于二次型化简问题 第一节、一阶偏微分方程特征线法 一、特征线法 结合一些具体定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想和求 解方法。 例1 求解线性方程的Cauchy 问题 3 , 0, (1) u + u x =+t t −∞x +∞ t x  2 ( ,0) , (2) u x x =−∞x +∞  解 方程(1)的左端 + 是(, ) 的一阶偏导数的线性组 合。特征线方法的基本思想就是将其转化为(, )关于的全 导数. du dx dx u =+u u =+ u 3 x 3t =+c 3 dt t x dt t x dt 在这条直线 = + 上，上述定解问题转化为 du  4t =+c, t 0 dt (3)  2 2 u u x x c  (0) ( (0),0) (0) 解之，得 u 2t2 =+ct +c2 又 x −3t c ，则 2 2 =+ − + − u 2t (x 3t)t (x 3t) 2t2 =+xt −3t2 +x2 −6xt +9t2 x 2 =+8t 2 −5xt 此解法关键之处是找到直线 x −3t c ，偏微分方程转化为 常微分方程。直线 x −3t c 称为一阶偏微分方程(1)的特征线. u +3u x =+t,0 t, −∞x +∞ (1) t x  2 u(x,0) x , =