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解答椭圆中最值问题策略

椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.

一、建立目标函数，利用函数性质

例1 设P(x，y)

x2 y2＝1上的一点，F

为椭圆的左焦点，求|PF|的最大值和最

小值.

是椭圆64＋28 1 1

分析：由于点F的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P的坐标(x，y)，结合椭圆方程即可建立|PF1|关于横坐标x的目标函数，再结合函数的即可求解.

解：椭圆的左焦点F1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得

|PF1|＝ (x＋6)2＋y2＝

7

(x＋6)2＋(28－16x2)＝

9 32 3 32

16(x＋3)2＝4|x＋3|，

由已知，得x∈[－8，8]

3 ＋32在[－8，8]上为增函数，

，函数4|x 3|

故|PF| ＝3 ＋32|＝14，|PF|

3 32

＝－8 |＝2.

1max

4|8 3

1min 4| ＋3

点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.

二、利用定义转化，结合平面几何性质

例2 已知A(4，0)、B(2，2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求|MA|＋|MB|的最大与最小值.

分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA|＋|MB|转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.

解析：如图所示，由题意，知点A(4，0)恰为椭圆右焦点，则A关于O的对称点A1(－4，0)(左焦点)，

由椭圆的第一定义，得|MA|＋|MA1|＝2a，|MA|＝2a－|MA1|，

∴|MA|＋|MB|＝(2a－|MA1|)＋|MB|=2a＋(|MB－|MA1|)，

在△A1BM中，||MB|－|MA1||≤|A1B|＝2 10，－2 10≤|MB|－|MA1|≤2 10，又2a＝10.故|MA|＋|MB|的最大值是10＋2 10，最小值为10－2 10.

点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.

三、巧妙设角，利用三角函数有界性

例3 已知椭圆C

x2 y2

1(a＞b＞0)两个焦点为F，F

，如果曲线C上存在一点Q，

： ＋ ＝

2 1 2

a b2

使F1Q⊥F2Q，求椭圆离心率的最小值。

分析：根据条件可采用多种方法求解，但是若借用三角函数的有界性求解，会有不错的效果.由于F1Q⊥F2Q，因此可设∠PF1F2

＝α，然后表示出相应的焦半径|QF1|、|QF2|，结合定义即可建立离

心率关于α的三角函数.

解：设∠QFF＝α，则

12

|QF1|＝|F1F2|cosα＝2ccosα，|QF2|＝|F1F2|sinα＝2csinα，由椭圆定义知|QF1|＋|QF2|＝2a，即2ccosα＋2csinα＝2a，

a )故e c 1 1 ≥ 2

a )

＝＝ ＝

sinα＋cosα

2sin(α＋45?) 2

(当α＝45?时取“＝”)，

故椭圆离心率的最小值为2

2.

点评：本题建立离心率e关于α的目标函数的关键是利用三角函数处理Rt△QF1F2边角的关系.另外，利用三角函数的有界性求最值时，一定要注意角的范围.

四、利用椭圆的几何性质，建立变量不等式

为椭圆例4 若A、B

为椭圆

x2 y2

1(a＞b＞0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使∠AQB

a2 b2

＋＝＝120?，求此椭圆离心率的最小值.

＋

＝

分析：建立a、b、c之间的不等式是解决离心率最值问题常规思路.此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中x、y的取值进行求解离心率的最值.

解：不妨设A(a，0)，B(－a，0)，Q(x，y)，则k

＝y ，k ＝y ，

AQ x＋a BQ x－a

y －y

3x＋a x－a －2ay

3

利用到角公式及AQB＝120?，得

＝tan120?(x＝±a)，即 ＝

y yx2＋y2－a

y y

又点A在