4.4分离变量法.ppt

第四章 静态场的解 4.4 分离变量法 主要内容 直角坐标系下的分离变量法 圆柱坐标系下的分离变量法 球坐标系下的分离变量法 比较系数可得： 故 由边界条件④ 可得 由以上两式可得 由此可得 x y a E0 电场线 等位面 ? ? ? ? ? ? ? ? 圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示： 3. 球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为 令 代入上式，得 与前同理， 两项必须为常数才能保证恒等式成立。 二维 其中k=n(n+1),(n=1,2,3….),上式的解为勒让德多项式 （4-55） （4-56） 通过变量代换式4-56可写为 设上式第一项为k，即 勒让德方程 ….. ….. 在计算的过程中通常会利用勒让德多项式的正交性，即 前几项勒让德多项式为 上式为欧拉方程，做变量替换设 则上式为 上式的解为 球坐标系下的通解形式为 （4-63） 将k=n(n+1)代入式（4-55）可得 * * 学习目的 熟悉不同坐标系下的通解形式 掌握使用分离变量法求解静态场的一般方法 【例】同轴线的内外导体半径分别为a和b，沿z方向无限长， 外导体接地，内导体电位为U0，如图所示，求同轴线间的电 位和电场分布。 【解】：该题为一个轴对称问题，因此选择圆柱坐 标系，由于无限长，故电位 与 坐标无 关，又由于轴对称性，电位与 坐标无关， 故最终电位仅为 的函数。它满足拉普拉 斯方程： 将此式积分两次得： 式中 为待定系数，根据边界条件确定值。 由题知边界条件为： b a 将边界条件代入电位解可得 将上式值代入电位解可得 同轴线间的电场强度为： 由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数，选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。 此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。 启发一： 启发二： 分离变量法 (1) 使用条件 求解二维、三维边值问题，且边值面是简单的几何面，如平面、 圆柱面、球面。 (2) 基本思想 分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。 (3) 基本方法 ① 选取合适的坐标系，令所求边界（或部分边界）与某坐标系重合 ② 写出边界条件 ③ 分离变量，确定解的形式 ④ 利用边界条件确定待定系数 ⑤ 确定场解。 1. 直角坐标系中的分离变量法 无源区中拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令 代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得 若上式对所有的（x,y,z）成立，唯一条件是各项均为常数，设常数分别为 。 三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程 分离常数 下面以变量x为例讨论含变量 x 的常微分方程通解的形式。 ①若分离常数α为0，即 时，上述通解为： ②若分离常数α为虚数，即 时，令 ，则上述通解变为 或者 或者 ③若分离常数α为实数，即 时，上述通解变为 式中 为待定常数。 解的形式的选择取决于各个分离常数，而各个分离常数取决于给定的边界条件，故解的形式完全决定于给定的边界条件。 α,β,γ 它们必须满足下列方程 若某方向上边界条件呈周期特性，则解为三角函数形式； 若某方向上边界条件非周期，则解为双曲函数或指数函数； 若无限区域边界条件为0，解为指数衰减函数； 若位函数与某坐标无关，则该方向的分离变量为0. 【例1】横截面如图所示的无限导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0，求此区域内的电位。 （例4-7） y x a b 解：由于导体槽沿z轴无限长，故电位与z无关，是（x,y）的二维函数。 满足拉普拉斯方程为 （1）选取直角坐标系，边界条件为： ① ② ③ ④ ⑤ （2）确定解的形式，写出通解 二维空间，设 由边界条件①②判断可知， 由于