分离变量法 弦的振动.ppt

* 波动方程： 边界条件： 初始条件： 第二章 分离变量法 2.1 两端固定弦的自由振动 物理模型的启示：乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t，每个单音可以表示成 波腹 波节 每一点绕平衡位置振动 振幅随位置变化 驻波解： 对于确定的频率，解是驻波： 由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组： 和 (1) (2) (3) ：本征值 ：本征函数 ：本征值方程 C2是积分常数。 A、B 是积分常数。 由初始条件： 小结 分离变量： 边值确定本征值函数： 初值确定叠加系数： 注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本征函数的根本。 驻波 表示弦上各点的的振幅分布 相位因子 驻波的角频率 例1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。 分离变量： 和 由初始条件： 固定 自由 自由 自由 自由 固定 固定 固定 一、二类边界条件决定的驻波 例2:(自学) 单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。 求本征振动。 分离变量： 和 和 和 K=0：基频。 K0：谐频 *