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考研管综199数学真题试卷+答案解析

一、问题求解（本大题共15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项字母涂黑。）

1.某商品的标价为200元，打八折销售后仍获利25%，则该商品的进价为（）

A.128元

B.140元

C.160元

D.180元

E.以上都不对

答案：A

解析：设该商品的进价为\(x\)元，商品标价\(200\)元，打八折后的售价为\(200\times0.8=160\)元。因为打八折销售后仍获利\(25\%\)，即售价是进价的\((1+25\%)\)，则可列方程\(x(1+25\%)=160\)，解得\(x=\frac{160}{1.25}=128\)元。

2.若\(x,y\)满足\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\)，则\(xy\)的最大值为（）

A.3

B.6

C.9

D.12

E.15

答案：A

解析：已知\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\)，则\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\geqslant2\sqrt{\frac{x}{3}\times\frac{y}{4}}\)（当且仅当\(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\)时取等号）。由\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\)可得\(1\geqslant2\sqrt{\frac{xy}{12}}\)，两边同时平方得\(1\geqslant4\times\frac{xy}{12}\)，即\(xy\leqslant3\)，所以\(xy\)的最大值为\(3\)。

3.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_7=10\)，则\(S_9\)等于（）

A.20

B.30

C.45

D.60

E.90

答案：C

解析：在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(m+n=p+q\)（\(m,n,p,q\inN^+\)），则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_1+a_9=a_3+a_7=10\)。根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，可得\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9\times10}{2}=45\)。

4.从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这\(5\)个数字中任取\(3\)个组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）

A.30

B.36

C.40

D.48

E.60

答案：B

解析：要组成奇数，个位数字必须为奇数，从\(1\)，\(3\)，\(5\)中选一个放在个位，有\(C_3^1\)种方法；百位和十位从剩下的\(4\)个数字中选\(2\)个进行排列，有\(A_4^2\)种方法。根据分步乘法计数原理，可得奇数的个数为\(C_3^1\timesA_4^2=3\times4\times3=36\)个。

5.若圆\(C:(x1)^2+(y2)^2=4\)上有且仅有两个点到直线\(l:2xy+m=0\)的距离为\(1\)，则实数\(m\)的取值范围是（）

A.\((\sqrt{5},\sqrt{5})\)

B.\((3\sqrt{5},3\sqrt{5})\)

C.\((5,5)\)

D.\((3\sqrt{5},\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},3\sqrt{5})\)

E.以上都不对

答案：D

解析：圆\(C:(x1)^2+(y2)^2=4\)的圆心坐标为\((1,2)\)，半径\(r=2\)。根据点\((x_0,y_0)\)到直线\(Ax+By+C=0\)的距离公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，可得圆心\((1,2)\)到直线\(l:2xy+m=0\)的距离\(d=\frac{\vert2\times12+m\vert}{\sqrt{2^2+(1)^2}}=\frac{\vertm\vert}{\sqrt{5}}\)。因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为\(1\)，所以\(r1\ltd\ltr+1\)，即\(21\lt\frac{\vertm\vert}{\sqrt{5}}\lt2+1\)，\(\sqrt{5}\lt\vertm\vert\lt3\sqrt{5}\)，解得\(3\