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199管综试题及答案解析

一、选择题（每题3分，共45分）

1.若$x^23x+1=0$，则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值为（）

A.5B.7C.9D.11

答案：B

解析：已知$x^23x+1=0$，因为$x\neq0$（若$x=0$，方程不成立），方程两边同时除以$x$得$x3+\frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=3$。对$x+\frac{1}{x}=3$两边平方得$(x+\frac{1}{x})^2=3^2$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，则$x^2+2\timesx\times\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=9$，即$x^2+\frac{1}{x^2}+2=9$，所以$x^2+\frac{1}{x^2}=7$。

2.某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润率是（）

A.50%B.40%C.30%D.20%

答案：A

解析：设该商品的成本为$C$，定价为$P$。已知商品按定价的80%出售，即售价为$0.8P$，此时仍能获得20%的利润，则$0.8P=(1+20\%)C$，即$0.8P=1.2C$，解得$P=\frac{1.2C}{0.8}=\frac{3}{2}C$。定价时期望的利润率为$\frac{PC}{C}\times100\%=\frac{\frac{3}{2}CC}{C}\times100\%=\frac{\frac{1}{2}C}{C}\times100\%=50\%$。

3.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个，则这两个数之和为偶数的概率是（）

A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$

答案：B

解析：从5个数中任取两个的组合数为$C_{5}^2=\frac{5!}{2!(52)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$种。要使两数之和为偶数，有两种情况：两数均为奇数或两数均为偶数。奇数有1，3，5共3个，从中取2个的组合数为$C_{3}^2=\frac{3!}{2!(32)!}=\frac{3\times2}{2\times1}=3$种；偶数有2，4共2个，从中取2个的组合数为$C_{2}^2=1$种。所以两数之和为偶数的情况共有$3+1=4$种。则这两个数之和为偶数的概率是$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_3+a_4+a_5=12$，则$S_7$的值为（）

A.28B.36C.42D.48

答案：A

解析：因为$\{a_n\}$是等差数列，根据等差数列的性质：若$m,n,p,q\inN^+$，且$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。所以$a_3+a_5=2a_4$，已知$a_3+a_4+a_5=12$，即$3a_4=12$，解得$a_4=4$。又因为$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}$，由等差数列性质$a_1+a_7=2a_4$，所以$S_7=\frac{7\times2a_4}{2}=7a_4=7\times4=28$。

5.直线$l:3x+4y12=0$与圆$C:x^2+y^22x4y=0$的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

答案：C

解析：将圆$C$的方程$x^2+y^22x4y=0$转化为标准方程，根据完全平方公式$(ab)^2=a^22ab+b^2$，可得$(x1)^2+(y2)^2=5$，则圆心坐标为$(1,2)$，半径$r=\sqrt{5}$。根据点到直线的距离公式$d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}$（其中$(x_0,y_0)$为点的坐标，$Ax+By+C=0$为直线方程），则圆心$(1,2)$到直线$3x+4y12=0$的距离$d=\frac{\vert3\times1+4\times212\vert}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\vert3+812\vert}{5}=\frac{1}{5}\lt\